¿Por qué los racionales, enteros y naturales tienen la misma cardinalidad?

Question

Así respondí a esta pregunta: ¿Son todos los infinitos iguales? Creo que mi respuesta es correcta, sin embargo, una cosa que no pude explicar completamente, y que me está molestando, es por qué los racionales $\mathbb Q$, enteros $\mathbb Z$ y naturales $\mathbb N$ tienen todos una cardinalidad $| \mathbb Q |=| \mathbb Z | = |\mathbb N| = \aleph_0$, cuando $\mathbb N \subsetneq \mathbb Z \subsetneq \mathbb Q.

La prueba básica de la otra pregunta, de mi respuesta, es que para cualquier $r$ en $\mathbb Q$ hay una única función $f(r)$ tal que $f(r) \in \mathbb Z$, y lo mismo ocurre entre $\mathbb Z$ y $\mathbb N$. Debido a que hay esta transformación 1:1 posible, debe haber el mismo número de números en los tres conjuntos, porque de lo contrario habría un número en un conjunto para el cual la biyección no podría producir un número del otro conjunto, y esto no es así.

Ahora, Belgi explicó por qué $1<2$ en la otra pregunta al definir el valor 0 como la cardinalidad del conjunto vacío $\emptyset$, 1 como la cardinalidad de un conjunto de conjuntos que contienen solo al conjunto vacío, y 2 como el conjunto de conjuntos que contienen el conjunto vacío y un conjunto que contiene el conjunto vacío, y luego procediendo de la siguiente manera:

Ahora que hemos definido los números naturales podemos definir cuándo un número es menor que otro. La definición es $x

Claramente $\{\emptyset\}\neq\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ y $\{\emptyset\}\subset\neq\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ Así que esta es una prueba, por definición, de por qué $1<2$.

... sin embargo, por la misma definición, porque $\mathbb N \subsetneq \mathbb Z \subsetneq \mathbb Q$, entonces $| \mathbb N | < | \mathbb Z | < |\mathbb Q|$ y por lo tanto un máximo de una de estas cantidades puede ser la cantidad ordinal $\aleph_0$.

Answer 1

Lo primero que debes preguntarte, sobre conjuntos finitos, es esto: ¿Cuándo dos conjuntos tienen la misma cardinalidad?

La forma en que funciona las matemáticas es tomar una propiedad que conocemos muy bien y hacer nuestro mejor esfuerzo para extraer sus propiedades abstractas para describir algún tipo de construcción general que se aplique en tantos casos como sea posible.

Entonces, ¿cómo comparamos los tamaños de dos conjuntos finitos? Si podemos escribir una tabla, en una columna el conjunto $A$ y en la otra el conjunto $B$, y cada elemento de $A$ aparece en una celda única; y cada elemento de $B$ aparece en una celda única. Si esta tabla no tiene filas en las que haya solo un elemento, entonces los conjuntos $A$ y $B$ son iguales. Por ejemplo: $$\begin{array}{lc} \text{Dos conjuntos iguales:} & \begin{array}{c|c|c}A & a_1& a_2\\\hline B & b_1& b_2\end{array} \\ \text{Conjuntos no iguales:} & \begin{array}{c|c|c|c}A & a_1 & a_2 & a_3\\\hline B & b_1 & b_2\end{array} & \end{array}$$

Es claro que este método captura exactamente cuándo dos conjuntos tienen el mismo tamaño. No requerimos que un conjunto sea subconjunto de otro; ni requerimos que compartan los mismos elementos. Solo requerimos que dicha tabla pueda ser construida.

Bueno, la generalización simplemente consiste en decir que existe una función de $A$ a $B$ que sea inyectiva y sobreyectiva, es decir, cada elemento de $A$ tiene un elemento único de $B adjunto a él; y cada elemento de $B$ tiene un elemento único de $A adjunto a él.

Sin embargo, resulta que esta noción tiene algo peculiar sobre los conjuntos infinitos: los conjuntos infinitos pueden tener subconjuntos proporcionales con las mismas cardinalidades.

¿Por qué sucede esto? Bueno, la infinitud es una bestia bastante extraña. Continúa sin un fin, y nos permite "moverse" y cambiar cosas de una manera muy agradable. Por ejemplo, considera la siguiente tabla: $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \mathbb N&0&1&\cdots&n&\cdots\\\hline \mathbb N\setminus\{0\}& 1&2&\cdots & n+1&\cdots \end{array}$$

No es difícil ver que esta tabla no tiene filas incompletas y que cada elemento del conjunto izquierdo ($\mathbb N$) aparece exactamente una vez, y cada elemento del conjunto derecho ($\mathbb N\setminus\{0\}$) aparece exactamente una vez.

Esto puede volverse infinitamente más complicado, y así sucesivamente.

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Alguien podría preguntar, ¿tal vez estamos pensando de la manera equivocada? Bueno, la respuesta es que es posible. Podemos definir "tamaño" de otras maneras. La cardinalidad es solo una forma. El problema es que hay ciertas propiedades que queremos que la noción de "tamaño" tenga. Queremos que esta noción sea anti-simétrica y transitiva, por ejemplo.

Es decir, si $A$ es menor o igual que $B$ y $B$ es menor o igual en tamaño que $A$, entonces $A$ y $B$ tienen el mismo tamaño; si $B$ también tiene el mismo tamaño que $C$, entonces $A$ y $C$ son del mismo tamaño también. Resulta que la noción descrita por funciones tiene estas propiedades. Otras nociones pueden carecer de una o de ambas. Algunas nociones de "tamaño" carecen de anti-simetría, otras pueden carecer de transitividad.

Así que resulta que la cardinalidad es bastante útil y funciona bastante bien. Sin embargo, tiene una peculiaridad... bueno, ¿quién no tiene una estos días?

Para superar esto, necesitamos cambiar un poco la forma en que pensamos: un subconjunto propio no necesita tener una cardinalidad estrictamente menor. Simplemente no debe tener una cardinalidad mayor. Esta es la correcta generalización del caso finito, en lugar de la ingenua "subconjunto estricto implica estrictamente menor".

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Para leer más:

1. ¿Existe una forma de definir el "tamaño" de un conjunto infinito que tome en cuenta las diferencias "intuitivas" entre conjuntos?

Answer 2

Podemos construir un par de biyecciones entre $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{N}$.

Primero podemos construir una función biyectiva $f: \mathbb{N}_{+} \rightarrow \mathbb{N}$.

$$ f (n) = n-1 \\ f^{-1} (n) = n+1 $$

Esto se puede demostrar por inducción. Creo que esto te da una idea de que incluso si $\mathbb{N}_{+} \subsetneq \mathbb{N}$, pero $|\mathbb{N}_{+}| = |\mathbb{N}|$.

Tu duda es concordada por Cantor: Je le vois, mais je ne le crois pas!

• $f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$.

• $f: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}$, m es un natural finito, también demostrado por inducción

• $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N}$, números positivos a pares, números negativos a impares

• $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{N}$, un racional es una fracción de dos enteros, es decir

$$ f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{N} $$

Answer 3

Sea q = m/n una racional positiva con m,n positivos en términos más bajos.
Mapea q a $2^m × 3^n$.
Dado que este mapeo es una inyección en N, los racionales positivos son numerables.
Con esto es fácil mostrar que Q es numerable.