La Intuición Detrás De Principio Del Máximo (Análisis Complejo)

Question

Deje $D$ ser un conjunto abierto en el plano complejo y $f(z)$ ser un no-constante holomorphic función en D. A continuación, $|f(z)|$ no tiene máximo local en D.

Puedo seguir la prueba multa - por lo general, si no entiendo un teorema de la forma intuitiva de antemano, la prueba va a ofrecer la información necesaria. Aquí, sin embargo, no veo el motivo por el Principio del Máximo para mantener - o tal vez yo era demasiado poco profunda en mi comprensión de la prueba. ¿Alguien tiene alguna chelines de la sabiduría que estarían dispuestos a ofrecer? Saludos.

Answer 1

Piense acerca de lo que es el valor medio de los bienes de funciones analíticas que dice: $f(z_0) = \dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{i\theta}) d\theta$ donde $f$ es analítica en el disco $B_r(z_0)$. Esta dice que el $f$ es igual a la media de los puntos de límite. ¿Cómo puede el $|f(z_0)|$ ser mayor que la de cada punto de lo que es la media? El pensamiento discretamente, si $a= \dfrac{a_1 + \cdots + a_n}{n}$, $a$ ser mayor que la de cada punto de esta suma? No, esto no es posible.

Answer 2

holomorphic significa, entre otras cosas, que el mapa está abierto. Este es inmediata cuando el $f'(z_0) \neq 0,$ el Teorema de la Función Inversa dice que un abrir barrio de $f(z_0)$ está cubierto surjectively. Incluso cuando $f'(z_0) = 0,$ el surjective parte aún se mantiene, es sólo que el mapa es localmente $k$ a, donde a $k$ es la primera derivada tal que $f^{(k)} (z_0) \neq 0.$, por tanto, no actúa de la manera en $z^3$ actos en torno al origen, por ejemplo.

De todos modos, su $D$ está abierto; suponga que el módulo se lleva a su máximo en algún punto de $z_0 \in D.$ Bien, a continuación, $f$ mapas de un barrio de $z_0$ en un barrio de $f(z_0),$ incluyendo los puntos con mayor módulo de $f(z_0)$