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Cómo encontrar la fórmula de forma cerrada para esta relación de recurrencia

$ x_{0} = 5 $

$ x_{n} = 2x_{n-1} + 9(5^{n-1})$

He calculado: $x_{0} = 5, x_{1} = 19, x_{2} = 83, x_{3} = 391, x_{4} = 1907$ pero no puedo ver ningún patrón para el general $n^{th}$ plazo.

13voto

John R. Strohm Puntos 1559

Si no estás familiarizado con el método que explicó Phira, divide ambos lados por $2^n$ :

$$ \dfrac{x_{n}}{2^n} = \dfrac{x_{n-1}}{2^{n-1}} + \dfrac{9}{2}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{n-1} $$

Llame a $\dfrac{x_{n}}{2^n} = s_n$ :

$$ s_n = s_{n-1} + \dfrac{9}{2}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{n-1} $$

Si seguimos ampliando $s_{n-1}$ en el RHS recursivamente, obtenemos:

$$ s_n = s_0 + \dfrac{9}{2}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{0} + \dfrac{9}{2}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{1} \cdots + \dfrac{9}{2}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{n-2} + \dfrac{9}{2}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{n-1} $$

Dónde $s_0 = \dfrac{x_0}{2^0} = x_0$ .

Esto significa que:

$$ s_n = x_0 + \sum_{k=1}^{n}\dfrac{9}{2}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{k-1} $$

Se trata de una serie geométrica:

$$ s_n = 3 \left(\dfrac{5}{2}\right)^n + 2 $$

Y por lo tanto:

$$ x_n = 3 \cdot 5^n + 2 \cdot 2^n $$

7voto

leoinfo Puntos 3364

Desarrollando la respuesta de Phira: En general, para una relación de recurrencia dada de la forma $x_n+a_1x_{n-1}+...+a_{r}x_{n-r}=k^nf(n)$ , donde $a_1,...,a_r,k$ son constantes dadas y $f(n)$ es un polinomio en $n$ y asumiendo que se le da $x_0,...,x_{r-1}$ Entonces puedes resolver esto en dos pasos:
Paso 1: definir el polinomio característico como $t^r+a_1t^{r-1}+...+a_r$ y que $t_1,...,t_r$ sean todas sus raíces (sobre $\mathbb{C}$ ). Si todos son distintos, entonces se escribe $x_n^{(h)}=\alpha_1t_1^n+...+\alpha_rt_r^n$ - la parte homogénea. Si tiene multiplicidad $s$ a alguna raíz $t_j$ entonces sustituye sus apariciones en la solución por $(n^{s-1}\beta_1+...+\beta_{s})t_j^n$ .
Paso 2: $x_n^{(p)}=k^nn^sg(n)$ donde $k$ es el mismo, $s$ es la multiplicidad de $k$ como raíz del polinomio característico definido anteriormente (si $k$ no es una raíz, entonces $s=0$ ) y $g(n)$ es un polinomio del mismo grado que $f(n)$ .
Ahora $x_n=x_n^{(h)}+x_n^{(p)}$ . Sustituyendo de nuevo y utilizando el $x_0,...,x_{r-1}$ puedes encontrar las constantes.

Ahora, aplique este método a su problema: el polinomio característico será $t-2$ . Por lo tanto, $x_n^{(h)}=\alpha 2^n$
$k=5$ , $f(n)=\frac{9}{5}$ . Desde $k=5$ no es una raíz del polinomio característico, se tiene $x_n^{(p)}=5^n\beta$ ya que $g(n)$ es un polinomio del mismo grado que $f(n)$ es decir, constante.
Por lo tanto, tiene $x_n=2^n\alpha+5^n\beta$ . Introduciéndolo en la primera ecuación se obtiene $$2^n\alpha+5^n\beta=2\cdot2^{n-1}\alpha+2\cdot5^{n-1}\beta+9\cdot5^{n-1}$$ Así que $(5\beta-2\beta)5^{n-1}=9\cdot5^{n-1}$ . Por lo tanto, $\beta=3$ .
Ahora el plug-in $5=x_0=\alpha+\beta$ . Así que $\alpha=5-\beta=2$ .
Finalmente, $x_n=2\cdot2^n+3\cdot5^n$

4voto

Tas Puntos 11

A partir de la teoría general, se puede decir inmediatamente que $x_n=A\cdot 2^n+B\cdot 5^n$ para algunas constantes $A$ y $B$ .

Ahora, puedes proceder a calcular las constantes $A$ y $B$ utilizando sus valores para $n=0$ y $n=1$ .


Si no es un ejercicio de práctica para entender las recurrencias y realmente sólo necesitas el resultado, entonces Wolfram alpha también te dará satisfacción: Vea aquí.

4voto

DiGi Puntos 1925

Nótese que la técnica de Ayman de "desenrollar" la recurrencia funciona incluso sin la división preliminar por $2^n$ : $$\begin{align*} x_n&=2x_{n-1}+9\cdot5^{n-1}\\ &=2\left(2x_{n-2}+9\cdot5^{n-2}\right)+9\cdot5^{n-1}\\ &=2^2x_{n-2}+2\cdot9\cdot5^{n-2}+9\cdot5^{n-1}\\ &=2^2\left(2x_{n-3}+9\cdot5^{n-3}\right)+2\cdot9\cdot5^{n-2}+9\cdot5^{n-1}\\ &=2^3x_{n-3}+2^2\cdot9\cdot5^{n-3}+2\cdot9\cdot5^{n-2}+9\cdot5^{n-1}\\ &\qquad\qquad\qquad\vdots\\ &=2^kx_{n-k}+2^{k-1}\cdot9\cdot5^{n-k}+2^{k-2}\cdot9\cdot5^{n-k+1}+\ldots+9\cdot5^{n-1}\\ &=2^kx_{n-k}+9\sum_{i=0}^{k-1}2^i5^{n-1-i}\\ &\qquad\qquad\qquad\vdots\\ &=2^nx_0+9\sum_{i=0}^{n-1}2^i5^{n-1-i}\\ &=5\cdot2^n+9\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac25\right)^i5^{n-1}\\ &=5\cdot2^n+9\cdot5^{n-1}\left(\frac{1-(2/5)^n}{1-2/5}\right)\\ &=5\cdot2^n+3\cdot5^n\left(1-\frac{2^n}{5^n}\right)\\ &=5\cdot2^n+3\cdot5^n-3\cdot2^n\\ &=2^{n+1}+3\cdot5^n\;. \end{align*}$$

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