He estado tratando de probar que todo Espacio polaco es homeomórficos a un $G_\delta$ subespacio de Hilbert Cubo. Hay una pista diciendo que, dado un contable densa subconjunto del espacio polaco $\{x_n : n\in\mathbb{N}\}$ definir la función de $f(x)=(d(x,x_n))_{n\in\mathbb{N}}$ (donde $d$ es una métrica en el espacio polaco). Creo que he demostrado que $f$ es continua y $1-1$ pero no sé cómo demostrar que la inversa de la función es continua y que la imagen es una $G_\delta$. Ha sido un muy largo tiempo desde que he tratado con la topología, así que estoy teniendo un tiempo difícil subir con alguna idea y me temo que he olvidado algunos bien conocidos topológico hecho (así que tal vez es algo obvio aquí que no estoy viendo). Cualquier ayuda sobre cómo proceder sería amablemente aprecia.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongo que ya has normalizado $d$ tal que $0 \leq d \leq 1$ (de lo contrario, reemplace$d$$\frac{d}{1+d}$).
Como usted ha dicho, la función de $f: x \mapsto f(x) = (d(x,x_{n}))_{n \in \mathbb{N}}$ es continua e inyectiva. Deje $f(y_{m}) \to f(y)$ ser una secuencia convergente en $f(X)$. Queremos mostrar que $y_{m} \to y$.
Por definición de la topología producto, tenemos $d(y_{m},x_{n}) \xrightarrow{m \to \infty} d(y,x_{n})$ todos los $n$. Deje $\varepsilon > 0$ y escoger un punto de $x_{n}$ tal que $d(y,x_{n}) < \varepsilon/3$ por la densidad. Desde $d(y_{m},x_{n}) \to d(y,x_{n})$, $M$ tal que $|d(y_{m},x_{n}) - d(y,x_{n})| < \varepsilon /3$ todos los $m \geq M$, lo $d(y_{m},x_{n}) < 2 \varepsilon /3$. Pero, a continuación, $d(y_{m},y) \leq d(y_{m},x_{n}) + d(x_{n},y)< \varepsilon$ y, por tanto,$y_{m} \to y$.
¿Por qué la imagen de un $G_{\delta}$-set? Este parece ser mucho más difícil. Yo no veo ninguna manera más fácil que esencialmente re-probar dos resultados clásicos sobre la métrica de los espacios que son mucho más interesantes, así que prefiero explicar esto:
Teorema (Kuratowski) Deje $A \subset X$ ser un subconjunto de un espacio metrizable y deje $g: A \to Y$ ser un mapa continuo a un espacio metrizable $Y$. A continuación, $g$ puede ser ampliado continuamente a un $G_{\delta}$-conjunto que contiene a $A$.
Fijar claramente delimitado y completa de métricas en $Y$. Para la prueba necesitamos la noción de oscilación de $g$ a un punto de $x \in \overline{A}$ (el cierre de $A$$X$) definido por $$\displaystyle \operatorname{osc}_{g}(x) = \inf\{\operatorname{diámetro}g(U \cap a)\,:\, x \U, \;U\; \text{open}\}. $$ El conjunto $B = \{x \in \overline{A}\,:\,\operatorname{osc}_{g}(x) = 0\}$ $G_{\delta}$- set. Para ver esto, observe que $B_{n} = \{x \in \overline{A} \,:\, \operatorname{osc}_{g}(x) < \frac{1}{n}\}$ es un subconjunto abierto del conjunto cerrado $\overline{A}$$B = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} B_{n}$. La continuidad de $f$ implica que el $A \subset B$. Ahora defina $f: B \to Z$ $f(x) = \lim g(x_{n})$ donde $x_{n} \to x$. No es difícil mostrar que $f$ está bien definido (debido a $\operatorname{osc}_{g}(x) = 0$ implica que el $g(x_{n})$ es de Cauchy-secuencia) y claramente $f$ extends $g$ y es continua.
El segundo ingrediente que necesitamos es:
Teorema (Lavrentiev) Deje $X$ $Y$ ser completamente metrizable espacios y deje $g: A \to B$ ser un homeomorphism de $A \subset X$ a $B \subset Y$. Entonces no existe $G_{\delta}$-conjuntos de $G \supset A$ $H \supset B$ y un homeomorphism $f: G \to H$ extender $g$.
Deje $h = g^{-1}$. Elija $G_{\delta}$-conjuntos de $G' \supset A$ $H' \supset B$ y continuas ampliaciones $g': G' \to Y$ $h': H' \to X$ por el teorema de Kuratowski. Deje $Z = \operatorname{graph}(g') \cap \widetilde{\operatorname{graph}}(h') \subset X \times Y$ ser la intersección de los gráficos (la tilde indica el 'switch' $\widetilde{(y,x)} = (x,y)$ de coordenadas) y deje $G = \operatorname{pr}_{X} (Z)$$H = \operatorname{pr}_{Y}(Z)$. Obviamente, $f = g'|_{G}$ es un homeomorphism de $G$ a $H$. Uno puede comprobar que $H$ (y por lo tanto también se $G$ por simetría) es una $G_{\delta}$-establecidos de la siguiente manera: gráfica de $g'$ es cerrado en $G' \times Y$, por lo que es un $G_{\delta}$- $H$ es su preimagen bajo la continua mapa de $y \mapsto (h'(y),y)$.
Corolario. Si $Y$ es completamente metrizable espacio y $X \subset Y$ completamente metrizable subespacio, a continuación, $X$ $G_{\delta}$- set.
Por Lavrentiev del teorema, la inclusión $X \subset Y$ se extiende a un homeomorphism en su imagen.
Un corolario más de estas ideas es que un subconjunto de un espacio polaco es el polaco si y sólo si es un $G_{\delta}$.
Información más detallada se puede encontrar en cualquier decente libro sobre descriptivo de la teoría de conjuntos, por ejemplo Kechris, Clásica descriptivo de la teoría de conjuntos, o Srivastava, Un curso sobre los conjuntos de Borel, ambos aparecieron en el Springer Posgrado Textos de Matemáticas de la serie.
