en las clases de chern y Riemann-Roch teorema de torsión libre de poleas en singular (posiblemente varias) de la curva

Question

1. Estoy en busca de una definición de clase de Chern (al menos el primero) de torsión libre de gavilla $F$ (no necesariamente localmente libre) en un singular de la curva (por simplicidad puede asumir todas las singularidades son planas).

La clase de Chern puede ser, por supuesto, extraído de una secuencia exacta relativa $F$ a algunas localmente libre de las poleas. Pero me gustaría tener algo más directo de la definición, como el dado por Hartshorne (Generalizada divisores en Gorenstein curvas y un teorema de Noether. J. Math. Kyoto Univ. 26 (1986), no. 3, 375--386).

Al menos para la primera clase de Chern.

1.5 Incluso si uno quiere definir $c_1(F)$ a partir de algunos de resolución: torsión libre de poleas en singular curvas a veces no tienen finito localmente libre de resoluciones. ¿Qué haría usted en este caso?

1. Estoy buscando la de Riemann-Roch para torsión libre de poleas en un singular de la curva (que puede asumir las singularidades a ser planar). Por ejemplo Hartshorne en el papel por encima de lo hace para clasificar a una.

Por supuesto, si la única definición de la primera clase de Chern es a partir de la secuencia exacta, luego de Riemann-Roch es tautológica (una forma alternativa de definir $c_1(F)$). Así que esta pregunta es significativo el modulo de la primera pregunta.

De alguna manera, no me parece de todo esto en los clásicos libros de texto.

Gracias a todos!!!!

Answer 1

En el afín caso, no es una dulce manera de definir la primera clase de Chern de la siguiente manera:

Deje $R$ por el anillo de coordenadas y $M$ $R$- módulo corresponden a nuestra gavilla. Como $M$ es de torsión libre, uno puede incrustar $M$ en un módulo: $ 0\to M \to F \to N \to 0$ ( usted necesita $M$ a ser de rango constante, y que el rango sería el rango de $F$). En esta $N$ sería de torsión, por lo que el apoyo es finito. Tome el ciclo de $c(N) = \sum length(N_p)[p]$ donde $p$ corre por todo el apoyo de $N$. A continuación, defina $c(M)= -c(N)$.

En general, uno podría llegar codimension 1 ciclos por escoger a ellos desde cualquier primer filtración de $M$(usted necesita para mostrar que lo que se obtiene a partir de 2 diferentes filtraciones son racionalmente equivalente). Este documento contiene un tratamiento de ese resultado.

Answer 2

Bien, en este artículo, no parece ser una definición de las curvas en la que los nodos. Parece como esto: Vamos a $\mathcal{F}$ ser una de torsión libre gavilla de rango $r$, a continuación, en cada nodo de $x_i$, hay una descomposición $\mathcal{F}_{x_1}=\mathcal{O}_{x_i}^{a_i}\oplus\mathfrak{m}_{x_i}^{r-a_i}$. En cada punto, también podemos obtener un mapa $\mathcal{F}_{x_i}\to k(x_i)^{a_i}$, y así obtenemos $$0\to\mathcal{E}\to\mathcal{F}\to\oplus_{x_i} k(x_i)^{a_i}\to 0$$. Then, there's a vector bundle $E$ on the resolution, and we get the formula $\gr\mathcal{F}(=c_1)=\deg E-nr+\sum a_i$ where $$ n es el número de nodos.

Sin duda, este es un poco torpe, y sólo funciona en el caso de los nodos, pero parece un lugar para empezar...no sé cuánto de esto sigue siendo cierto para la planar singularidades, o cómo las fórmulas que iba a cambiar.

Answer 3

Debo estar perdiendo algo aquí. ¿Por qué no utilizar el estándar de Baum-Fulton-MacPherson $\tau$ mapa? Este es el mapa de necesidades de Riemann-Roch a trabajar de todos modos como en las secciones 18.2 y 18.3 de Fulton "Intersección de la teoría de la" reserva". La definición es muy natural - incrustar la curva en una variedad lisa (por ejemplo, en el espacio proyectivo) y resolver el empuje hacia adelante por el vector paquetes en el destino. Solo es necesario ser cuidadoso y corregir su cálculo mediante la intersección con la Todd de la clase de destino. Baum-Fulton-MacPherson comprobar que la definición es independiente de la incrustación y que Riemann-Roch tiene para l.c.yo. adecuado morfismos, por ejemplo, para las curvas planas de singularidades.

Si nos quieren engañar también podemos definir el grado de torsión libre gavilla $F$ en una curva de $C$ desde el polinomio de Hilbert, o simplemente como $\deg(F) = \chi(F) - rk(F)\chi(\mathcal{O}_C)$.