Dejemos que $A \to B$ sea un homomorfismo de anillos conmutativos. ¿Por qué son equivalentes las siguientes condiciones?
$A \to B$ es fielmente plana.
$A \to B$ es inyectiva, plana y $B/A$ es un piso $A$ -módulo.
Esto debería ser elemental, pero de momento no veo cómo demostrarlo. Conozco las caracterizaciones habituales de los homomorfismos fielmente planos (que se pueden encontrar en Atiyah-Macdonald, por ejemplo).
Porque $\rm A \to B$ es inyectiva se tiene la siguiente secuencia $$ 0 \to \rm A \to B \to B/A \to 0.$$
Entonces, porque $\rm B/A$ es plana, tenemos para cualquier $\rm A$ -Módulo $\rm M$ , $$ 0 \to \rm M \to B \otimes M \to B/A \otimes M \to 0.$$
Por lo tanto, $ \rm B \otimes M =0 \Rightarrow M = 0$ y así $\rm A \to \rm B$ es fielmente plana.
Esa es una parte.
Parece que me hago viejo porque ya me había encontrado con este resultado hace tres años. Es el Lemma 5.5. en el trabajo de Lurie sobre La dualidad Tannaka . Funciona incluso en abelianos mansos arbitrarios $\otimes$ -categorías.
Para ir a la inversa, supongamos que $f\colon A\to B$ es fielmente plana. El mapa $f\otimes B\colon A\otimes_AB \to B\otimes_AB$ es inyectiva ya que tiene una sección, a saber, el mapa de multiplicación de $B\otimes_AB\to B$ dado por $b\otimes b'\mapsto bb'$ . Lo que significa que es inyectiva. Por lo tanto, el mapa original debe ser inyectivo, ya que lo es después de un cambio de base fielmente plano.
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(Desde un punto de vista geométrico, un morfismo de esquemas es fielmente plano si es plano y suryente. Un mapa inyectivo de anillos induce un mapa dominante sobre los espectros, y un mapa plano (de tipo finito) es abierto, por lo que implica la planitud fiel).
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@Watson No entiendo tu comentario. ¿Qué pasa con $\mathbb Z\to\mathbb Z[1/n]$ que es plana, inyectiva y de tipo finito?