Hay un codifferential para una covariante exterior de derivados?

Question

Para los formularios de una de Riemann $n$-colector $(M,g)$ existe una noción de un codifferential $\delta$, que es medico adjunto del exterior derivado:

$$\int \langle d \alpha, \beta \rangle \operatorname{vol} = \int \langle \alpha, \delta \beta \rangle \operatorname{vol} $$

$\langle \alpha, \beta \rangle$ es un producto escalar de dos formas diferenciales inducida por $g$, $\operatorname{vol}$ es una forma de volumen, correspondiente a $g$. Por otra parte, $\delta$ es definido a través de una estrella de Hodge $*$ y el exterior derivado $d$:

$$ \delta \Omega^k(M) \a \Omega^{k-1}(M) \\ \delta = (-1)^{n(k+1)+1}*d* $$

Pero desde $M$ es de Riemann, $d$ puede ser ampliado con Levi-Civita de conexión de $\nabla$ a un exterior derivada covariante $d^\nabla$ a actuar sobre el tensor de valores de formas diferenciales.

Hay una codifferential para $d^\nabla$ en este caso, cuando el producto escalar de tensor de valores de los formularios se considera? Hay un análogo de la descomposición de Hodge? Y lo que sucede en el caso especial de $M$ Einstein colector?

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Más débiles de la pregunta ¿Cuál es la adjoint $\nabla^*$ de Levi-Civita de conexión de $\nabla : \Gamma(TM) \to \Gamma(TM \otimes T^*M)$ cuando actúen en campos vectoriales?

$$\int \langle \nabla u, A \rangle \operatorname{vol} = \int \langle u, \nabla^* A \rangle \operatorname{vol} $$

$u \in \Gamma(TM)$ --- liso campos vectoriales, $A \in \Gamma(TM \otimes T^*M)$ --- un operador lineal sobre campos vectoriales. Todas las condiciones necesarias asumido en el límite para deshacerse de límite en términos de integración por partes.

Answer 1

Creo que las respuestas a las dos primeras preguntas son sí, siempre hay un codifferential; y no, no siempre hay una descomposición de Hodge. No sé nada acerca de la de Einstein colector caso.

Vamos a decir $E$ es un vector paquete de más de $M$ con métrica y compatible con la conexión $\nabla$. ($E$ podrían ser algunas de las tensor de paquete con $\nabla$ inducida a partir de la de Levi-Civita de conexión, por ejemplo). Como usted dice, $\nabla$ da un exterior derivado $d^\nabla$ $E$valores de formas diferenciales que obedece a la regla de Leibniz $$ d^\nabla (\omega \otimes e) = d\omega \otimes e + (-1)^{\text{deg} \omega} \omega \wedge \nabla e ,$$ donde $\omega$ es una forma homogénea y $e$ es una sección de $E$, e $\omega \wedge \nabla e$$\sum_i (\omega \wedge dx^i) \otimes \nabla_{\partial_i} e$.

Para cada grado de los formularios de $k$, puede ver $d^\nabla$ como un mapa de $d^\nabla: C^\infty( \Lambda^k \otimes E) \to C^\infty( \Lambda^{k+1} \otimes E)$. Con las métricas, cada uno de esos espacios de las secciones están dotados de $L^2$ interior de los productos. A continuación, $d^\nabla$ siempre tiene una formal $L^2$-adjoint $\delta^\nabla$ va para otro lado: $\delta^\nabla: C^\infty( \Lambda^{k+1} \otimes E) \to C^\infty( \Lambda^k \otimes E)$. (Tenga en cuenta el espacio de secciones suaves se pueden completar en el espacio de las $L^2$ secciones, sino $d^\nabla$ $\delta^\nabla$ ilimitado a los operadores y, en general puede definirse solamente en algunos subespacio denso de que $L^2$ de espacio.)

Lo que siempre se puede definir $d^\nabla$ y su formal adjoint $\delta^\nabla$. El problema es que $d^\nabla$ plazas a cero si y sólo si la conexión de $\nabla$ $E$ es plana, es decir, su curvatura es cero. (Flat vector de paquetes de $E$, es decir, los paquetes en los que existe un plano de la conexión, son relativamente escasas.) Necesitamos $d^\nabla$ a la plaza a cero ni el intento de definir el de Rham cohomology de $E$valores de las formas, y tienen buenas propiedades, como la descomposición de Hodge. (Quiero decir que el "operador de Dirac" $D = d^\nabla + \delta^\nabla$ y el "Laplaciano" $\Delta = D^2$ no son elípticas a menos $d^\nabla$ plazas a cero, pero tengo que pensar en eso.)

No tengo una buena referencia para que este a la mano, aunque el artículo de Wikipedia sobre el paquete de valores de las formas que podría ser útil.