Las matrices gamma en la regularización dimensional

Question

Demuestra que $tr \left ( \gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\rho\gamma_\sigma\gamma_5\right )=0$ cuando la dimensión espacio-tiempo no es 4.

Lo que he intentado:

Sabemos que $ \gamma_\alpha\gamma ^ \alpha =d \mathbb {1}$ para que podamos escribir:

$tr \left ( \gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\rho\gamma_\sigma\gamma_5\right )= \frac {1}{d}tr \left ( \gamma_\alpha\gamma ^ \alpha\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\rho\gamma_\sigma\gamma_5\right )$

Entonces pensé que podría viajar $ \gamma ^ \alpha $ más allá de dos gammas porque si $ \alpha\notin\left\ { \mu ,\, \nu ,\, \rho ,\, \sigma\right\ }$ Entonces $ \left\ { \gamma_\alpha ,\, \gamma_\mu\right\ }=0$ y de alguna manera mostrar que me quedo sin lo que empecé, usando la ciclicidad del rastro y que $ \left\ { \gamma_5 ,\, \gamma_\mu\right\ }=0$ .

Sin embargo, de lo que no estoy seguro es de por qué siempre podemos encontrar tales $ \alpha $ para que $ \alpha\notin\left\ { \mu ,\, \nu ,\, \rho ,\, \sigma\right\ }$ . Entiendo que esto es generalmente posible cuando $d \in\mathbb {R} \wedge d>4$ sin embargo, cuando $d \in\mathbb {C}$ esta afirmación no tiene ningún sentido para mí.

¿Puede alguien proporcionar una prueba rigurosa de esta afirmación que evite el obstáculo que mencioné anteriormente?

Answer 1

Como se indica en el capítulo 47 del libro por Srednicki, utilizando la definición de $\gamma_5$ y las relaciones $(\gamma^i)^2=-1$ y $(\gamma^0)^2=1$ podemos demostrar que

$\text{Tr}(\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)=-4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}.$

Ahora podemos utilizar una propiedad fundamental del símbolo de Levi-Civita, a saber, que el número de sus índices tiene que coincidir con el número de dimensiones del espaciotiempo. Si no es así, desaparece. Por lo tanto, esto demuestra la afirmación inicial.