Acerca del diablo escaleras

Question

Decimos que una función $f:\left[a,b\right] \to \mathbb{R}$ es una singular función o un diablo de la escalera si $f$ satisface las siguientes propiedades:

1. $f$ es continua;
2. $f(a) < f(b)$;
3. $f$ es no decreciente en $\left[a,b\right]$;
4. Existe un conjunto $N \subset \left[a,b\right]$ (nombre de un excepcional conjunto) de la medida de Lebesgue $0$ tal que para todos los $x \in \left[a,b\right] \setminus N$ la derivada de $f$ $x$ existe y es igual a cero.

Posiblemente, la mayoría de los que conocen ejemplo es el diablo de la escalera estructurada de tal forma que el ternario conjunto de Cantor es su excepcional conjunto. (http://math.mit.edu/~katrin/enseñar/18.100/Diablo%27s-Escalera.pdf). En este caso, el excepcional conjunto que satisface $\dim_H(\mathcal{E}) = 0$. También hay ejemplos en los que el excepcional conjunto ha $\dim_H(\mathcal{E}) = 1$ (M. Urbanski, En la dimensión de Hausdorff de conjuntos invariantes para la expansión de los mapas de un círculo. Ergodic Theory Dynam. Los sistemas de 6(2):295-309, 1986.)

1. Es posible construir un diablo de la escalera tales que el excepcional conjunto es contable?
2. Es posible construir un diablo de la escalera tales que el excepcional conjunto es incontable y $\dim_H(\mathcal{E}) = 0$?
3. Hay ejemplos de funciones similares a las del diablo escalera tales que el excepcional conjunto es un conjunto de Cantor con el positivo de la medida de Lebesgue?

Answer 1

A partir de los comentarios de Pietro Majer.

Para la pregunta 1: No, una función continua en a $[a,b]$ de manera tal que cualquiera de sus Dini derivados es no negativa hasta una contables excepcional conjunto es cada vez mayor (véase Dieudonné).

Para las preguntas 2, 3, o requisitos similares en la forma de la excepcional conjunto: recordar que componen el Cantor de la función $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ con un aumento de la homeomorphism $\phi\colon[a,b]\to[0,1]$ usted obtiene un diablo de la escalera de $f\circ \phi$ con un excepcional conjunto de $N=\phi^{-1}(N)$.