$1-2+3-4+\dots = \frac{1}{4}$

Question

Recientemente me encontré con esta paradójica ecuación:

$$1-2+3-4+\dots = \frac{1}{4}$$

Más rigurosamente, esta infinita suma se puede escribir como

$$\sum_{n=1}^{\infty} n(-1)^{n-1}$$

y es bien sabido que divergen desde, por ejemplo

$$1=1$$

$$1-2=-1$$

$$1-2+3=2$$

$$1-2+3-4=-2$$

$$1-2+3-4+5=3$$

$$1-2+3-4+5-6=-3$$

Ahora, la cosa no me explico es por qué la suma es igual a $\frac{1}{4}$, a pesar de que no tienden a ningún límite. He aquí porque, creo, la igualdad anterior se llama "paradójico".

I (tratado de) leer el artículo de la Wikipedia, pero está lleno de material nunca he encontrado en mis estudios, lleno de ejemplos y analogías que me hizo aún más confundido.

La única cosa que creo haber entendido respecto a esta igualdad, escrito por primera vez por Leonhard Euler, es que este último llegó a la rusult reduciendo el polinomio $$1-2x+3x^2-4x^3+\dots$$ in $$\frac{1}{(1+x)^2}$$

Por lo tanto, si tomamos $x=1$, obtenemos la igualdad anterior. Pero, ¿cómo es que esta reducción hecho?

Me temo que si no podía darse cuenta de las respuestas a esta pregunta en la Wikipedia, pero sólo tengo una explicación que me haría entender, incluso de forma intuitiva, la paradójica naturaleza de la igualdad y su derivación matemática por medio de un razonamiento claro.

Answer 1

Tienes que ser muy cuidadoso con la alimentación de la serie. Todos ellos tienen un rango de valores para el cual trabajan.

Considerar el poder de la serie:

$$P = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6 \pm \cdots $$

Esta es una serie geométrica con primer término a $a=1$ y la razón común $r=-x$. Para una infinita serie geométrica, si $-1 < r < 1$, luego converge a un valor finito dado por una conocida fórmula: $$P = \frac{1}{1+x}$$

Es tentador pensar que el poder de la serie es igual a esta fracción, es decir, $$\frac{1}{1+x} \equiv 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6 \pm \cdots $$ Sin embargo, esto sólo es cierto cuando se $-1 < x < 1$. Para cualquier valor de $x$$-1$$1$, la mano derecha va a dar el mismo valor de la mano izquierda. Usted puede poner en los valores fuera de ese rangle, pero el loco respuestas. Por ejemplo, intente $x=-2$. Tenemos $$-1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + \cdots $$ La expresión que usted le dio es encontrado por la diferenciación de ambos lados de $$\frac{1}{1+x} \equiv 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6 \pm \cdots $$ El cociente de la regla sobre el lado izquierdo, el poder de la regla para el lado derecho y luego multiplicando ambos lados por $-1$ da $$\frac{1}{(1+x)^2} \equiv 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 6x^5 \pm \cdots $$ De nuevo, esto sólo es válido para los valores de $x$$-1$$1$. De hecho, usted puede dejar a $x$ ser un número complejo e insisten en que $|x|<1$. Si pones cosas como $x=1$, entonces usted va a obtener una tontería porque $x=1$ no satisface $-1<x<1$.

Algunas personas a elegir para asignar un valor a estas series, permitiendo que los valores de $x$ alguna. Esto está relacionado con la idea de continuación analítica.

Answer 2

Esto se conoce como la Continuación Analítica. Se hace exactamente como usted explicó - tiene una función que converge en un intervalo y, a continuación, extiende el dominio de la función de pasado el intervalo que converge en mediante el uso de algún resultado cerrado, en este caso $ \frac{1}{(1 + x)^2} $.

Otro buen ejemplo es $ 0! - 1! + 2! - 3! + \cdots $ a pesar de que esta es la forma cerrada es un poco más complicado.

Answer 3

Las otras respuestas son buenas ya que más o menos explicar lo que está pasando. Esta respuesta se tratará de explicar el $\frac{1}{4}$. Primero, vamos a ver de una forma más simple de la serie que presenta similar comportamiento. Que es la serie, $$1-1+1-1+1-1\cdots.$$ Note that this is a divergent geometric series, but it is a a fly's hair away from being convergent. What do I mean? We can write down a power series, $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^x-x^3+\cdots\mbox{ when } |x|<1.$$ If we blindly plug in $x=1$ (even though we should not be allowed to) then we get the series obove is equal to $\frac{1}{2}$. Now why is $\frac{1}{2}$ a sensible answer? If we look at the partial sums, we get the series, $$a_n=\frac{1}{2}(1+(-1)^n)$$. Now if we take the means of the partial sums, of $a_n$ we get $$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}\Sigma_0^n a_n=\frac{1}{2}.$$ This is a compromise between the two points we are jumping between. However, this was not you question, but this should be a sort of warm up, so let us try to do something similar with your series and see if we can extract $\frac{1}{4}$. Tenemos la serie $$1-2+3-4+5-6+\cdots.$$ If we look at the partial sums as before, we get $$1,-1, 2, -2, 3, -3, 4,-4,\cdots.$$ Now let us take the means of the partial sums of this new sequence. This gives us $$1,0,\frac{2}{3},0,\frac{3}{5},0,\frac{5}{7},0\cdots.$$ Note that this is the result of two sub-sequences weaved together. The firts is the sub-sequence defined by $$\frac{n}{2n+1}$$, and the other is the constant zero sequence. The sequence $$\frac{n}{2n+1}$$ has limit $\frac{1}{2}$ while the constant zero sequence has limit zero. Now if we compromise between the two subsequences we get the desired $\frac{1}{4}$. Esto está relacionado con Cesaro Suma. De hecho, esto es sólo un iterado versión.

Answer 4

Debemos distinguir entre las diferentes formas se reducen a una serie a un solo número. La suma de la serie es el límite de las sumas parciales de la topología de los números reales. El Abel de la suma de la serie es, a grandes rasgos, el límite de$\sum a_nx^n$$x\to 1$.

Estos dos procedimientos están estrechamente relacionados. Abel del teorema establece que si la suma de una serie existe, entonces el Abel suma también existe y es el mismo número. Sin embargo, el recíproco no es cierto!

La serie $1-2+3-4+\cdots$ es un ejemplo donde el Abel suma existe, pero la suma no existe. Este resultado es paradójico sólo si usted piensa que la suma y el Abel suma son la misma cosa. No lo son, y que se resuelve la paradoja!