¿Por qué necesitamos la compacidad?

Question

Hay un teorema que dice que si $E$ es un infinito subconjunto de un conjunto compacto $K$, $E$ tiene un punto límite en $K$.

Por qué no puede ser hecho con $K$ sólo está cerrado? Si $K$ es cerrado, a continuación,$\overline{E} \subset K$, por lo que si $x$ es un punto límite de $E$,$x \in \overline{E} \implies x \in K$.

Answer 1

Como contraejemplo: $\Bbb R$ es cerrado, y $\Bbb Z$ es un subconjunto infinito de $\Bbb R$. Sin embargo, $\Bbb Z$ no tiene límite de puntos.

Answer 2

Su conclusión falla porque se supone que $x$, un punto límite de $E$, existe.