¿Cuál es un ejemplo fácil de dominio noetheriano?

Question

Tengan en cuenta que soy estrictamente un aficionado, aunque muy antiguo. Aprendí sobre números imaginarios hace apenas dos años y sobre ideales hace un año, y sigo siendo decididamente un novato en ambos temas.

En la biblioteca de la universidad, estaba mirando Módulos sobre dominios noetherianos de Fuchs y Salce y no pude entender nada. También estoy mirando las "Preguntas que pueden tener ya su respuesta", pero si la tienen, no es de una forma que pueda entender.

Entonces pensé qué tal un anillo finito, como tal vez $\mathbb{Z}_{10}$ pero eso sólo ha creado más preguntas, como: ¿puede un anillo finito ser noetheriano? Aunque $5 = 5^n$ para cualquier $n \in \mathbb{Z}_{10}$ además de $0$ , todavía estamos tratando sólo con el ideal $\langle 5 \rangle$ ¿cierto? No hay cadena ascendente de ideales aunque algunos números de este dominio tengan infinitas factorizaciones, ¿verdad? Al fin y al cabo es un anillo noetheriano, ¿no?

Mi pregunta, al parecer, ha pasado a ser si es posible que un anillo noetheriano esté al alcance de un diletante como yo, o debe ser necesariamente esotérico y exótico.

Answer 1

Para un campo $k$ el anillo $k[x_1,x_2,\dots]$ de polinomios con infinitas indeterminaciones es noetheriano porque se puede tomar la cadena ascendente

$$(x_1)\subset (x_1,x_2)\subset(x_1,x_2,x_3)\subset\cdots$$

Y también para responder a una de tus preguntas, un anillo finito debe ser noetheriano porque una definición equivalente de noetheriano es "todo ideal es finitamente generado", así que si $R$ es finito entonces cada ideal $I$ es finito y en particular está generado por sí mismo, por lo que todo ideal es finitamente generado.

Answer 2

Ser "noetheriano" puede leerse como un anillo para el que cualquier cadena ascendente de ideales tiene un "ideal mayor", uno que contiene a todos los demás pero que sólo está contenido por ideales que son iguales a él mismo.
Para ser noetheriano, el anillo simplemente tiene que tener una cadena ascendente infinita de ideales. El anillo de enteros algebraicos, por ejemplo, tiene la cadena infinita de ideales generada por $2^{1/{2^{n}}}$ .
Eso es, $$\langle \sqrt{2} \rangle \subset \langle \sqrt[4]{2} \rangle \subset \langle \sqrt[8]{2} \rangle \subset \langle \sqrt[16]{2} \rangle \subset \dots$$ forma una cadena sin un "eslabón mayor".

Answer 3

El anillo de polinomios de valores enteros (el subringulo de $\mathbf Q[x]$ de polinomios que toman valores enteros en los enteros) es otro ejemplo de dominio integral no etereo.

El anillo de funciones continuas sobre $[a, b]$ es otro ejemplo (no es un dominio integral).