¿Existe una forma rápida de generar el polinomio característico de una matriz de Vandermonde?

Question

Esto surgió recientemente en un examen como crédito extra. La primera parte consistía en encontrar el polinomio característico, $f_A = \text{det(}A - xI_n)$ donde $I_n$ es la matriz identidad n por n, de $A = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array} \right|.$ y eso es lo bastante fácil con algunos cálculos básicos y fuerza bruta. Pero la segunda parte pregunta por una matriz Vandermonde general n x n como $$B = \left| \begin{array}{ccc} 1 & & 1 \\ a_1 & ... & a_n \\ ... & & ... \\ a_1^{n-1} & & a_n^{n-1} \end{array} \right|.$$

No he encontrado nada en nuestro libro o en internet sobre la segunda parte. ¿Hay una forma "buena" de encontrar el polinomio característico de B?

No sé nada de los valores $a_i$ en la matriz si eso hace alguna diferencia.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

EDIT: Resulta que esta pregunta fue añadida al examen en el último momento y el Profesor pensó que debería ser fácil porque el determinante es fácil; no lo es. Así que ni siquiera sé si tiene una respuesta.

Answer 1

Parece que el problema no tiene una solución de forma cerrada agradable, y de hecho parece engañosamente fácil. Incluso con $4$ variables las cosas se vuelven complicadas. El polinomio característico es:

$$ -x^3+x^4-x^2 a_1-x^2 a_1^2-x^2 a_1^3+x^2 a_2-x^3 a_2+x a_1^2 a_2+x a_1^3 a_2-x a_1 a_2^2-x a_1 a_2^3-x a_1^2 a_3+x a_2^2 a_3-x^2 a_2^2 a_3+a_1^3 a_2^2 a_3-a_1^2 a_2^3 a_3+x^2 a_3^2-x^3 a_3^2+x a_1 a_3^2+x a_1^3 a_3^2-x a_2 a_3^2+x^2 a_2 a_3^2-a_1^3 a_2 a_3^2+a_1 a_2^3 a_3^2-x a_1^2 a_3^3+a_1^2 a_2 a_3^3-a_1 a_2^2 a_3^3-x a_1^3 a_4-a_1^3 a_2^2 a_4+x a_2^3 a_4-x^2 a_2^3 a_4+a_1^2 a_2^3 a_4+a_1^3 a_3^2 a_4-a_2^3 a_3^2 a_4+x a_2^3 a_3^2 a_4-a_1^2 a_3^3 a_4+a_2^2 a_3^3 a_4-x a_2^2 a_3^3 a_4-x a_1^3 a_4^2+a_1^3 a_2 a_4^2-a_1 a_2^3 a_4^2-a_1^3 a_3 a_4^2+a_2^3 a_3 a_4^2-x a_2^3 a_3 a_4^2+x a_3^3 a_4^2-x^2 a_3^3 a_4^2+a_1 a_3^3 a_4^2-a_2 a_3^3 a_4^2+x a_2 a_3^3 a_4^2+x^2 a_4^3-x^3 a_4^3+x a_1 a_4^3+x a_1^2 a_4^3-x a_2 a_4^3+x^2 a_2 a_4^3-a_1^2 a_2 a_4^3+a_1 a_2^2 a_4^3+a_1^2 a_3 a_4^3-a_2^2 a_3 a_4^3+x a_2^2 a_3 a_4^3-x a_3^2 a_4^3+x^2 a_3^2 a_4^3-a_1 a_3^2 a_4^3+a_2 a_3^2 a_4^3-x a_2 a_3^2 a_4^3 $$

No se factoriza como regla general. El FullSimplify de Mathematica no da nada visiblemente más simple. El coeficiente en $x^0$ es el famoso determinante, pero los coeficientes en $x$ y $x^2$ son: $$a_2 \left(a_2-a_3\right) a_3+a_2^2 \left(-a_3^3+a_2 \left(1+a_3^2\right)\right) a_4+a_3 \left(-a_2^3+\left(1+a_2\right) a_3^2\right) a_4^2+\left(-a_2+a_2^2 a_3-\left(1+a_2\right) a_3^2\right) a_4^3+a_1 \left(-a_2^2 \left(1+a_2\right)+a_3^2+a_4^3\right)+a_1^2 \left(a_2-a_3 \left(1+a_3^2\right)+a_4^3\right)+a_1^3 \left(a_2+a_3^2-a_4 \left(1+a_4\right)\right)$$ $$-a_1 \left(1+a_1+a_1^2\right)+a_2-a_2^2 a_3+a_3^2+a_2 a_3^2-a_2^3 a_4-a_3^3 a_4^2+\left(1+a_2+a_3^2\right) a_4^3$$ y no parecen ser nada más simples. (Ni yo ni Wolfram sabemos cómo simplificar estos polinomios más allá). No hay simetría que explotar en este problema (nota que cambiar columnas cambia el polinomio característico de forma no trivial). Si soy juez, el polinomio para más variables no es para nada agradable.