Camino más corto en una esfera

Question

Soy bastante novato en geometría diferencial. El cálculo no es lo mío, pero las pruebas geométricas me parecen muy bonitas. Así que estoy buscando una prueba sencilla -por sencilla quiero decir sin apenas cálculo- de que el camino más corto entre dos puntos de una esfera es el arco del gran círculo en el que se encuentran. ¿Alguna pista?

Edición: ¿O al menos una referencia?

Answer 1

He aquí una observación geométrica que difícilmente puede llamarse "prueba", pero que puede resultar atractiva.

Si $p$ y $q$ son puntos distintos de la esfera $S^{n}$ , si $C:[0, 1] \to S^{n}$ es un "camino más corto" que une $p$ a $q$ y si $F:S^{n} \to S^{n}$ es un mapa que preserva la distancia y que fija $p$ y $q$ entonces $F \circ C$ es también un camino más corto (porque la longitud de $F \circ C$ es igual a la longitud de $C$ ).

Supongamos que $q \neq -p$ . Si crees que existe un único camino más corto desde $p$ a $q$ no es difícil ver que el arco del gran círculo "corto" es el único candidato: todo punto que no esté en el gran círculo a través de $p$ y $q$ se mueve por alguna isometría de la esfera que fija $p$ y $q$ .

Si está pensando específicamente en $S^{2}$ , la reflexión $F$ en el plano que contiene $p$ , $q$ y el centro de la esfera es una isometría, y $f(x) = x$ si y sólo si $x$ se encuentra en el gran círculo a través de $p$ y $q$ .

(Un argumento similar "justifica" que el camino más corto entre puntos distintos del plano euclidiano es el segmento de línea que los une).

Answer 2

Se puede demostrar que los arcos de círculo máximo son geodésicos parametrizando un arco de este tipo para que tenga una velocidad unitaria, y luego mostrando que la aceleración a lo largo del arco es perpendicular a la superficie de la esfera. (Esto supone que se acepta que las geodésicas tienen la característica de que su aceleración es perpendicular al plano tangente de la superficie en cada punto de la geodésica).

Entonces la unicidad de la geodésica desde un punto en una dirección muestra que debe ser el arco del gran círculo.

Me doy cuenta de que esto podría no ser lo que buscas porque no se conecta directamente a los caminos más cortos...

Answer 3

¡Por simetría!

Una prueba geométrica sencilla:

1. ( simetría paralela ) Consideremos el plano que es la bisectriz de la recta que une los dos puntos. Todos los objetos (es decir, la esfera y los puntos) son simétricos respecto a ese plano, por lo que si la ruta es única , es debe se mantiene igual después de que se refleje en el plano.
   ¿Por qué? Porque de lo contrario no sería único -- al reflejar el problema, estaríamos manteniendo las entradas iguales, pero cambiando la salida, y por lo tanto el camino no sería una función de las entradas.

2. ( simetría perpendicular ) Consideremos ahora el plano del gran círculo, es decir, el plano que pasa por el centro de la esfera y por los dos puntos dados. De nuevo, la esfera y los puntos son simétricos por reflexión con respecto a este plano, por lo que si la ruta es única , es debe permanecen igual después de ser reflejados a través de este plano. (La misma razón que la anterior).

3. ( restricción esférica ) El camino debe, por definición del problema, estar en la esfera.

4. ( singularidad ) La ruta debe ser única. (Esto es intuitivamente obvio, así que no intentaré demostrarlo).

Es fácil ver que el único camino que satisface estas tres condiciones es el del gran círculo.
¿Por qué? Porque la intersección de la esfera con los dos planos de simetría satisface claramente las condiciones 1-3. Además, la condición 4 implica que ningún otro camino puede ser el más corto. Por lo tanto, la intersección de estas formas debe ser el propio camino más corto.

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Sin embargo...

Este método sólo funciona para este problema. Por el contrario, los métodos basados en el cálculo (véase el Cálculo de Variaciones) funcionan para otros problemas que carecen de tales simetrías, y por lo tanto deberías aprender esos enfoques para poder resolver el problema del camino más corto para, por ejemplo, los elipsoides.

Answer 4

En el plano, WLOG deja que los dos puntos tengan la misma ordenada. Para cualquier curva explícita, la longitud viene dada por

$$\int_{x=x_0}^{x_1}\sqrt{1+y'^2(x)}\,dx\ge\int_{x=x_0}^{x_1}dx.$$

La igualdad se consigue con $y'(x)=0$ es decir $y(x)=\text{Cst}=y_0=y_1$ que es una línea horizontal. La longitud es $x_1-x_0$ .

Del mismo modo, en coordenadas esféricas, WLOG deja que un punto sea el polo y el otro tal que $\theta=0$ .

Entonces, para cualquier trayectoria $\theta=\theta(\phi)$ , $$S=\int_{(\theta,\phi)=(0,\phi_0)}^{(0,\pi)}ds=\int_{\phi=\phi_0}^{\pi}\sqrt{d\phi^2+\sin^2(\phi)\,d\theta^2}=\int_{\phi=\phi_0}^\pi\sqrt{1+\sin^2(\phi)\,\theta'^2(\phi)}\,d\phi\ge\int_{\phi=\phi_0}^\pi d\phi.$$

El límite inferior se alcanza cuando $\theta'(\phi)=0$ es decir $\theta(\phi)=\text{Cst}=0$ que es un meridiano. La longitud es $\pi-\phi_0$ .

Answer 5

Imagina que estás en el centro exacto de la esfera. Miras hacia la trayectoria que se hace al unir A y B. Desde tu perspectiva es una línea recta. Sabemos que no podemos acortar la línea pasándola a través de la esfera, ya que eso no está permitido. Si se "eleva" por encima de la superficie de la esfera se alargará y si se mantiene en la superficie de la esfera pero se desvía de la línea recta puedes ver que también aumentará su longitud ya que una línea es el camino más corto entre dos puntos del espacio regular.

Todo gran círculo parecerá una línea recta desde su punto de vista. Cualquier otro círculo más pequeño que se sitúe por completo en la superficie de la esfera aparecerá como un círculo desde tu punto de vista. A la inversa, cualquier línea que parezca recta debe ser un arco de un gran círculo, es decir, puedes encontrar un gran círculo que se superponga a cualquier línea de este tipo. Por tanto, el camino más corto sólo puede existir en un gran círculo.

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EDITAR

Todo gran círculo divide exactamente una esfera en dos semiesferas idénticas (la corta por la mitad por su centro exacto). Es intuitivo ver que un plano que corta una esfera por su centro exacto cortará su límite a lo largo de un gran círculo. El ángulo puede ser el que quieras, siempre que siga pasando por el centro de la esfera. Si tu ojo está en el centro de la esfera, ésta debe estar también en el mismo plano, por lo que todo lo que veas en el plano te parecerá una línea recta. Sólo puedes ver las curvas como curvas si tu ojo está por encima o por debajo (o a un lado, etc.) del plano, es decir no se acuesta en el avión . Como todo gran círculo se encuentra en un plano que interseca el centro de la esfera, si tu ojo está en el centro exacto, todo gran círculo o arco de un gran círculo parecerá recto. Dos puntos A y B cualesquiera de la superficie de una esfera pueden utilizarse para encontrar un único gran círculo que pase por ellos.