¿Por qué podemos usar inspección para resolver la ecuación con varias incógnitas?

Question

En nuestra clase de álgebra, nuestro maestro, a menudo hace lo siguiente:

$a + b\sqrt{2} = 5 + 3\sqrt{2} \implica \;\text{(inspección)}\; a=5, b = 3 $

Le pregunté por qué podemos hacer esta declaración. Ella era incapaz de proporcionar una respuesta satisfactoria. Por lo que he intentado demostrar a mí mismo.

$a + b\sqrt{2} = x + y\sqrt{2}$. Estamos obligados a demostrar que $a = x$, e $b = y$. La manipulación de la ecuación, obtenemos $\sqrt{2}(b - y) = x - a$ o $\sqrt{2} = \frac{x-a}{b-y}$. La expansión de este, llegamos $\sqrt{2} = \frac{x}{b-y} + \frac{a}{b-y}$. He intentado varias otras transformaciones, pero nada parecía producir un resultado.

Answer 1

SUGERENCIA:

Suponiendo que $a,b,x,y$ son racionales $\sqrt2(b-y)=x-a$ racional que sólo es posible si $b-y=0$

En cuanto a $b-y\ne0,\sqrt 2=\frac{x-a}{y-b}$ que es racional

Answer 2

Queremos mostrar que la única racional de soluciones de $a,b,x,y$ de $$a + b\sqrt{2} = x + y\sqrt{2}$$ están dadas por $a = x$$b = y$.

(Tenga en cuenta que si se permiten valores reales de $a,b,x,y$, por ejemplo $a = x + \sqrt{2}$, $b = y - 1$ sería una solución demasiado.)

Si $y = b$, entonces obviamente $a = x$.

Ahora suponga $y \neq b$. Entonces $$a + b\sqrt{2} = x + y\sqrt{2}\\ \implies a-x = (y-b)\sqrt{2}\\ \implies (a-x)^2 = 2(y-b)^2\\ \overset{y - b \neq 0}{\implies} 2 = \left(\frac{a-x}{y-b}\right)^{\!2}.$$ Por lo $2$ es el cuadrado de un número racional. Esto contradice el hecho de que $\sqrt{2}$ es irracional.

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Por el argumento anterior, hemos demostrado que la única solución racional de $a + b\sqrt{2} = 0$$a = b = 0$. En términos de álgebra lineal, esta propiedad está formulado como "$1$ $\sqrt{2}$ $\mathbb Q$- linealmente independiente". De esto se sigue que cualquier representación $a + b\sqrt{2}$ $a,b\in\mathbb Q$ únicamente determina $a$$b$.