La comprensión de las matemáticas de forma imprecisa

Question

Durante mucho tiempo, ha sido un completo misterio para mí cómo cualquiera de mis compañeros entiende de matemáticas a todos con algo corto de relleno en cada detalle, con cuidado acerca de cada conjunto teórico de detalles, como los axiomas. Que exagerado, pero a mí me pareció mucho peor en los cursos donde he intentado replicar a mí mismo por no leer cada prueba para ahorrar tiempo.

Sólo recientemente, y sólo dentro del campo de la teoría de la probabilidad, que he desarrollado la capacidad para hacerlo yo mismo. Actualmente estoy siguientes Grimmett el libro sobre la teoría de la Percolación. Hay muy pocos detalles para alguien de mi nivel para llenarla completamente, pero yo estoy más que nada fuera de ella.

Pregunta 1: me gustaría aprender a sacar aún más partido de esos "incompleta" de estudiar.

Lo que suele suceder, incluso ahora, y más antes, es que tan pronto como no entiendo algo, me pierden el foco y todo lo que vuela por encima de mi cabeza. Me imagino que esto es parte psicológica, ya que desde una perspectiva lógica si tengo que aceptar la proposición de $P$ derivar $Q$, yo sólo podía pensar en mí como después de haber demostrado simplemente que $P$ implica $Q$, y luego por "aceptaciones".

La mayoría de las veces, los profesores simplemente mirar fijamente en mí, preguntándose cómo podría persistir como este, y todos dicen que es dejar de fumar. Pero no es así de simple, porque parece que mi intuición es también principalmente simbólico. Seguro, creo que de algunas imágenes geométricas cuando se les llama, pero la mayoría de mis resolución de problemas creatividad proviene de la coincidencia de patrón de métodos y trucos con las situaciones.

Pregunta 2: ¿Cómo se puede destilar a cabo las ideas importantes de un matemático de la lectura, como una prueba o de papel?

Grimmett del libro es muy útil en este sentido. Él siempre me dicen lo que es importante, y mientras yo estoy dispuesto a creer en él, entonces no tengo que hacer nada. Pero lo que si tengo cosas que son diferentes de lo que él hace hincapié? Siempre me preocupa que al no entender todo, que eventualmente llegar a algún punto en mi vida en que necesito usar algún hecho/método que he glosado y olvidado, y que podría ser formuladas de tal manera que no podría siquiera ser conscientes de lo que falta. De esa manera, yo ni siquiera sería capaz de hacer una gran revisión de rescatar el hecho de las profundidades de mi ignorancia. Mi actual forma de pensar acerca de este subproblem de la pregunta 2 es que los matemáticos siempre tomar este riesgo por no estudiar todo. Así que es un riesgo-minimización de juego con el tiempo como la restricción. Si es así, ¿cómo puedo tomar decisiones inteligentes con respecto a este juego?

Pregunta 3: Con mi reciente capacidad para aprender de forma imprecisa en la probabilidad, he empezado a ver muchas conexiones, incluso con fuera de los campos. Muchos de ellos probablemente son ficticios. Muchas de las preguntas que creo que son muy motivado, podría ser en realidad en realidad no vale la pena responder. ¿Cómo decidir qué preguntas son interesantes? Como un estudiante de posgrado que apenas ha saltado por encima de lo que el aula tradicional tiene para ofrecer, estoy muy perdido en este sentido.

Pregunta 4: Las revelaciones que me permitió entender las matemáticas de forma imprecisa vinieron todos a la vez. Un comentario similar sobre la brusquedad de mi venida sobre la capacidad de la prueba de verificación sin error significativo podría ser hecho hace 2 años. La mayoría de mis compañeros parecen aprender más continuamente, pero la evolución de mi forma de pensar parece que vienen todos a la vez. ¿Hay algo de malo o de bueno acerca de esto? Si es así, ¿cómo minimizar el mal y maximizar el bien?

Como siempre, las respuestas a los subconjuntos son apreciados.

Answer 1

La plena comprensión de que es ilusorio. Si buscas, encontrarás a ti mismo tratando de decir lo que es un número, o un conjunto, y divagar en el problema de lograr que el lenguaje, que para la matemática es un meta-lenguaje, precisa. Y, por supuesto, que no se puede hacer.

Así que en cuanto a su primera pregunta, es posible que ayude a darse cuenta de lo inútiles que innato deseo tuyo es, y lo mucho que entender sin comprender plenamente (o remordimiento) en todos los demás aspectos de su vida.

Imagínese tratando de aprender de la biología y el estudio de los procesos químicos en el cuerpo, a continuación, preguntando "¿qué es una sustancia química". Se le da una respuesta que tiene que ver con las moléculas, un término que, a continuación, inspeccione en busca de la precisión de la causa. Los átomos, entonces los electrones. Finalmente, está el aprendizaje de la física cuántica, cuando lo único que quería hacer era entender cómo los alérgenos de trabajo, o algo parecido.

Debe operar en el nivel adecuado para un problema específico. No reinventar la rueda y hacer todo lo que a partir de primeros principios. Eso sería como escribir cada programa en código máquina.

Un día, nuestro cerebro puede ser aumentada con las mejoras que nos permitan tener el conocimiento suficiente para entender todo a nuestro "axiomas". Hasta entonces, es una cuestión de estar a gusto con nuestras limitaciones y tratando de trabajar con lo que tiene que ser impresionante.

En términos de saber que las preguntas son interesantes, creo que es una de las partes más difíciles de la investigación. Uno casi tiene que ser muy perspicaz.

Y como para conseguir que las ideas importantes de una prueba, mi primera respuesta es que a veces realmente no se puede. Algunas pruebas son sólo una confluencia de variables numéricas y limitar los resultados y no dan ninguna visión real de lo que está pasando. Ya que usted parece ser un probabilist, yo destacaría la prueba de que una caminata aleatoria en la dimensión $n$ es recurrente para $n=1,2$ y transitoria de otra manera. Uno siente que debe haber un intuitivamente comprensible a la razón, pero todo lo que uno obtiene es la fórmula de Stirling.

Para otras pruebas se trata de llegar a ser lo suficientemente cómodo con la terminología y técnicas usadas en la prueba (por la re-lectura) para ver el bosque por los árboles. En Kung Fu uno habla de "aprender a olvidar". Aprender los movimientos cuidadosamente para que usted pueda realizar sin pensar en ellos cuando llegue el momento. Haga lo mismo cuando se aprende a integrar o diferenciar - no quiero estar haciendo esto desde el límite de la definición cuando la hora de la verdad viene (examen de decir).

Answer 2

He observado cómo el más cercano a mi colega lo hizo de nuevo en el día de mi tesis de Doctorado y de postdoctorado y me hice cargo de su técnica. Lo que hizo fue sentarse, leer el periódico superficialmente y, a continuación, tratar de hacer cosas simples se entiende en su propio. A continuación, iba a tratar de construir su propia versión de lo que él consiguió el papel, a menudo sin comprender lo que estaba pasando. Pero él sólo tenía una idea general de la esencia del papel y trató de reconstruir la idea en sus propias palabras, matemáticas, etc...

Recuerdo que, a continuación, procedió a hacer lo mismo más tarde, cuando el estudio de algunas modelo ecológico que estábamos tratando de verter en fórmulas matemáticas. Sentí que el trabajo que se había hecho no era muy rigurosa o incluso incompleta. Así que construir el modelo para mí superficialmente imitando a los demás al principio, pero abandonando poco a poco su enfoque para mi. Y esto sin nunca totalmente aprendizaje de las técnicas necesarias de los procesos de Markov, el estocástico ecuaciones, etc... siento que al hacer este trabajo, mi comprensión de que el material es mucho más profundo de lo que hubiera sido si me hubiera leído un libro acerca de él o seguido un curso estándar.

Lo que también ayudó fue el sinnúmero de conversaciones y presentaciones que tenía que hacer acerca de mi trabajo que me obligó a poner mis pensamientos en palabras comprensibles para los demás. No podría haber conseguido mucho más de él, pero ha sido muy beneficioso para mí seguro.

Answer 3

A veces me toma consuelo en:

"Joven, en matemáticas no entender las cosas. Usted acaba de acostumbrarse a ellos."

- John von Neumann

A mí me parece que algunas de las obras es "si-esta-entonces-que" tipo de cosas, pero hay un montón más que básicamente proviene de la intuición de obtener a partir, básicamente, sólo la resolución de problemas.

Answer 4

No estoy seguro de que tengo una fuerte respuesta a tus preguntas, pero aquí está mi opinión sobre ella.

Yo trabajo en "fundaciones". En particular, mis intereses están en el equipo de prueba de los asistentes y el tipo de teoría. La gran cosa acerca de hacer pruebas en un equipo es que se puede decir con certeza más fuerte que cualquier simple mortal que su razonamiento es correcto (suponiendo la consistencia de la lógica, de la corrección del programa, la integridad del hardware, bla, bla, bla). Si su código de typechecks, es prácticamente garantiza que sea correcta.

Haciendo esto, usted nota algo de inmediato: incluso el más simple de las pruebas a menudo requieren una gran cantidad de maquinaria. En el escrito de matemáticas, casi siempre handwave de los tediosos detalles. "Es trivial", como dicen. Pero esto es análogo a un desarrollador de software que sólo molestado en escribir las partes interesantes de su código, pero el "aburrido evidente cosas", se omite por completo. (Un desarrollador no sería un trabajo demasiado largo).

Pero al menos, puede poner en cuarentena el "trivial" bits. El no escritas de los bits de las pruebas terminan trabajando casi de forma idéntica a los axiomas. (Se ha afirmado que son verdaderas sin prueba). Pero usted termina para arriba con un montón de ellos, flotando alrededor de su prueba.

Hay algunas lecciones interesantes que usted puede aprender de un equipo a prueba de ayudante, a pesar de que, en términos de lógica de la intuición. Tal vez lo más importante, lo que ve es la estructura lógica de las pruebas. (Al menos, esto es cierto en el plazo basado en los sistemas, tales como Agda o Epigrama. No es tan cierto cuando se trabaja con la táctica basada en sistemas, como el Coq). Para hacer un ejemplo sencillo, he trabajado por el primer teorema de Sylow de la teoría de grupos de esta mañana:

Sylow I: Let p be a prime, k a natural number, and G a finite group.
         If p^k divides |G|, then there is a subgroup H of G that |G| = p^k.

If k = 0, then H is the trivial group.
Else if k = 1, then H is G itself.
Else if k > 1,
    We can show |G| = mp for some integer m > 1.
    Does G have a subgroup H where [G : H] is coprime to p?
        Yes -> 
            Then by lagrange, |G| = p^k = [G : H] * |H|
            We know that p^k doesn't divide [G : H], so by the division lemma,
            p^k must divide |H|. 
            H is what we need, so that becomes our answer.
        No -> 
            In this case, we know that there are no subgroups H where [G : H] is coprime to p. 
            Equivalently, for *all* subgroups H, p divides [G : H]
            By the class formula, |G| = p^k = |Z(G)| + Σ[G : H_i]
            So modularly, 0 ≡ |Z(G)| mod p 
            (Note the [G : H_i] drop out, because each [G : H_i] is divisible by p).
            By the abelian version of Cauchy's Theorem, 
                there exists a z in Z(G) where |z| = p.
            <z> is a subgroup of the center, so <z> is normal.
            We appeal to the induction hypothesis, letting G = G/<z> and k = k-1.
                This gives us a subgroup H of G/<z> where |H| = p^{k-1}.
            We appeal to a minor lemma (I don't know if this has a name) which lets us show:
                H = P / <z> for some subgroup P of G.
            And we note that 
                |P| = [P/<z>] * |<z>| 
                |P| = |H| * |z| 
                |P| = p^k * p
                |P| = p^{k+1}
            So P is our subgroup of G, and it has the required order.

Usted puede ver la estructura muy limpia aquí. Puedo imaginar que se pueda puerto esta a Agda de una manera bastante sencilla (aunque podría tardar un tiempo en llegar todas las definiciones establecidas en primer lugar). La prueba es por inducción sobre G y k. La inducción es fuerte, como yo recurse arbitrarias grupos más pequeños cada vez. Mi inducción tiene tres casos. Hay un caso importante de split, en la línea 5 cuando le pregunto acerca de la existencia de un subgrupo de H, donde [G : H] coprime a p. (De manera constructiva, me tiene que preocuparse acerca de si o no este procedimiento es eficaz. En el clásico de las matemáticas, que puedo apelar a la Ley de Medio Excluido). Veo que hay algunos conceptos básicos de la divisibilidad teoremas necesarios. Y necesito saber acerca de los grupos generados, cocientes, la clase fórmula, y un par de otras cosas.

Yo también puede descubrir los defectos. Puedo ver un par de lugares donde no estoy 100% convencido de que mi lógica es hermética. Especialmente, mi uso de la recursividad es realmente torpe, y el "menor lema" me refiero a que, yo no sé realmente si es verdad. (De mi libro sólo afirmó, y acepté por ahora).

Pero en el libro que yo tengo, el argumento está escrito en prosa (como la mayoría de las matemáticas). No está claro donde se produce la inducción (creo que el autor hizo un error de menor importancia, mencionar la hipótesis inductiva dos veces). Y en lugar de la sangría en el caso de divisiones, simplemente ver el autor diciendo: "es trivial, así que vamos a asumir, bla".

Pero creo que mi punto es, si se mantienen a punta de pistola durante una semana, estoy muy seguro de que yo podría escribir esto en un ordenador en un adecuado dependiente tipo de lenguaje de programación. No sé cómo otros matemáticos hacerlo, pero quizás este es mi herramienta favorita en mi caja de herramientas.