No, esto no es cierto en general, incluso para la conexión de la Mentira de los grupos.
El especial lineales grupo $\operatorname{SL}_4$ en la dimensión 4 a través de un anillo de carácter no 2 (por ejemplo,$\mathbb{R}$, lo que resulta en un conectada Mentira grupo) no es un producto directo de la $Z(G)$$G/Z(G)$. Esto es debido a que $-I$ es un colector y en el centro, pero en $A \times B$ $A$ abelian, el colector de subgrupo es $1 \times [B,B]$, por lo que el $[G,G] \cap Z(G) = 1$ en cualquier grupo con $A=Z(G)$. Explícitamente, $$\pequeño
\left(\begin{array}{rrrr}
-1& 0& 0& 0 \\
0& 1& 0& 0 \\
0& 0&-1& 0 \\
0& 0& 0& 1 \\
\end{array}\right)^{-1} \cdot
\left(\begin{array}{rrrr}%
0&1&0&0\\%
1&0&0&0\\%
0&0&0&1\\%
0&0&1&0\\%
\end{array}\right)^{-1} \cdot
\left(\begin{array}{rrrr}
-1& 0& 0& 0 \\
0& 1& 0& 0 \\
0& 0&-1& 0 \\
0& 0& 0& 1 \\
\end{array}\right) \cdot
\left(\begin{array}{rrrr}%
0&1&0&0\\%
1&0&0&0\\%
0&0&0&1\\%
0&0&1&0\\%
\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{rrrr}%
-1&0&0&0\\%
0&-1&0&0\\%
0&0&-1&0\\%
0&0&0&-1\\%
\end{array}\right)%
$$
De hecho, nos pueden dar bastante tautológica de la clasificación de los grupos de $G$$G \cong Z(G) \rtimes G/Z(G)$. Desde $Z(G)$ es central, la semi-producto directo es en realidad directa, $G \cong Z(G) \times G/Z(G)$, pero el centro de la $A \times B$$Z(A) \times Z(B)$, por lo que debemos tener $Z(G/Z(G)) = 1$. Por lo tanto $G$ es de la forma $A \times B$ donde $A$ es abelian y $B$ es sin centro. Por el contrario, si $G$ si de la forma $A \times B$ donde $A$ es abelian y $B$ es sin centro, a continuación,$Z(G) = A \times 1 \cong A$$G/Z(G) \cong B$, según se requiera.
La proposición: $G \cong Z(G) \times G/Z(G)$ fib $G \cong A \times B$ donde $A$ es abelian y $B$ es sin centro.
