Punto expuesto de un conjunto convexo compacto

Question

Intento demostrar que dado un conjunto convexo compacto $K$ en $R^d$ debe haber al menos un punto expuesto (donde $v$ está expuesto si existe un hiperplano H tal que $H \cap K = \{v\}$ . Este es un problema de tarea, pero estoy totalmente atascado y busco una pista.

Sé que los conjuntos compactos convexos son cascos convexos de sus puntos extremos, por si sirve de algo. ¡Gracias!

Answer 1

Pista: Elige un punto $p$ y buscar un punto de máximo de la función $f(k)=||p-k||, k\in K$ .

Answer 2

Déjame hacer la prueba en $d=2$ para facilitarme la tarea, pero la misma idea funciona en general.

Supondremos que tenemos tan mala suerte que siempre que elegimos una dirección no hay puntos expuestos en esa dirección.

Tome una dirección $d_1$ (un funcional) y considerar el conjunto de apoyos en $K$ en esa dirección. No es un punto único. Es un intervalo compacto. Toma otra dirección $d_2$ y el conjunto de apoyo no es un solo punto. Consideramos ahora las direcciones que se encuentran entre estas dos. El conjunto de apoyos de cualquier dirección entre estas dos está contenido en el triángulo formado por las dos líneas de apoyo y los dos puntos extremos más cercanos de los conjuntos de apoyo.

Así, cada vez que consideramos una nueva dirección entre las dos últimas ya consideradas, encontramos un triángulo más pequeño dentro del triángulo anterior. Esta secuencia anidada de triángulos converge a un punto.

Tomamos las direcciones de la siguiente manera $d_1,d_2$ entonces $d_3$ entre $d_1$ y $d_2$ entonces $d_4$ entre $d_2,d_3$ entonces $d_5$ entre $d_3,d_4$ , ...., etc., para que no nos movamos hacia un punto final de los conjuntos de apoyo ya considerados.

El punto límite es el conjunto de apoyos de la dirección límite, y está expuesto porque el conjunto de apoyos de esa dirección sólo puede ser ese punto (porque está anidado entre conjuntos de apoyos arbitrariamente cercanos de otras direcciones).

Para una dimensión superior, en lugar de un triángulo se trabaja con un simplex delimitado por el número necesario de direcciones.

Answer 3

Sugerencia: ¿Cada punto extremo está expuesto?