Tenga en cuenta que $H^{0,0}_{\bar{\partial}}(X) = \ker\bar{\partial} : A^{0, 0}(X) \to A^{0, 1}(X)$ es, precisamente, la colección de holomorphic funciones en $X$, lo que, históricamente, fueron de más interés que los anticuerpos anti-holomorphic funciones en $X$ el cual es dado por $H^{0,0}_{\partial}(X) = \ker\partial : A^{0,0}(X) \to A^{1,0}(X)$.
Por otra parte, Dolbeault cohomology $H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X)$ determina la $H^{p,q}_{\partial}(X)$ y viceversa. Más precisamente, los mapas
\begin{align*}
\psi : H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X) &\to H^{q,p}_{\partial}(X)\\
[\alpha] &\mapsto [\bar{\alpha}]
\end{align*}
y
\begin{align*}
\varphi : H^{q,p}_{\partial}(X) &\to H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X)\\
[\beta] &\mapsto [\bar{\beta}]
\end{align*}
están bien definidas y son inversos el uno del otro. Por lo tanto,$H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X) \cong H^{q,p}_{\partial}(X)$.
Si $X$ es compacto, entonces Hodge Teoría nos dice que $H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X) \cong \ker\Delta_{\bar{\partial}} : A^{p,q}(X) \to A^{p,q}(X)$ $H^{p,q}_{\partial}(X) \cong \ker\Delta_{\partial} : A^{p,q}(X) \to A^{p,q}(X)$ donde $\Delta_{\bar{\partial}}$ $\Delta_{\partial}$ son los holomorphic y anti-holomorphic Laplacians respectivamente. Si $X$ es también Kähler, a continuación, $\Delta_{\bar{\partial}} = \Delta_{\partial}$ así que podemos ver que
\begin{align*}
H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X) &\cong \ker\Delta_{\bar{\partial}} : A^{p,q}(X) \to A^{p,q}(X)\\
&= \ker\Delta_{\partial} : A^{p,q}(X) \to A^{p,q}(X)\\
&\cong H^{p,q}_{\partial}(X).
\end{align*}
La combinación de estos isomorphisms con los de arriba, podemos ver que $H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X) \cong H^{q,p}_{\bar{\partial}}(X)$, por lo que la Hodge números de satisfacer $h^{p,q} = h^{q,p}$. Por lo tanto, el extraño números de Betti de un compacto de Kähler colector son incluso.
