Probar que un grupo con exactamente dos adecuada subgrupos no triviales es isomorfo a $\mathbb{Z}_{pq}$ o $\mathbb{Z}_{p^3}$.

Question

Supongamos $G$ es un grupo y tiene exactamente dos trivial adecuada de los subgrupos. Demostrar que $G$ es cíclico y $|G|=pq$ donde p,q son distintos de los números primos o $G$ es cíclico y $|G|=p^3$ donde $p$ es un primo. Por lo general, mi táctica para mostrar un grupo cíclico es buscar uno de los elementos de tal forma que su orden y el orden del grupo son los mismos. Pero aquí no puedo hacerlo porque no tengo ninguna información sobre el orden de los elementos. Así que me quedé. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Sugerencia: Si sólo hay dos subgrupos $H,K \subset G$ $H \cup K \neq G$ (żpor qué?). Ahora, ¿qué se puede decir acerca de un elemento $g \in G \setminus (H \cup K)$?

Answer 2

Caso 1: $|G|$ no es un $p-$grupo

Prueba: Vamos a $p,q$ dos divisores distintos de $|G|$. Deje $N_1,N_2$ ser sylow p,p-subgrupos respectivamente. Claramente, estos dos grupos son distintos (debido a que sus órdenes son diferentes).

Reclamo: $|N_1|=p$

Prueba: Supongamos que no. $Z(N_1)$ puede no ser trivial, ya que $N_1$ es un p-subgrupo). Si $Z(N_1)\subseteq N_1$, entonces tenemos una contradicción, porque $N_1,N_2,Z(N_1)$ tres adecuada no trivial subgrupos. Si $Z(N_1)|=N_1$, $N_1$ es abelian, lo $N_1^p,N_1,N_2$ son distintos no trivial adecuada de los subgrupos.

Del mismo modo, $|N_2|=q$. Puesto que hay dos adecuada subgrupos no triviales, por lo que todos los conjugados de $N_1$ son igual a $N_1$. Por lo tanto, $N_1\lhd G$. Por lo tanto, $N_1N_2$ es otro subgrupo de $G$. Por lo tanto, $N_1N_2$ debe ser igual a $G$. Desde $N_1\cap N_2=\{e\}$. Por lo tanto $|G|=|N_1N_2|=pq$

Caso 2: $|G|=p^n$

Prueba: Por los teoremas de Sylow, sabemos que $G$ no trivial adecuada subgrupos de orden $p,p^2,...,p^{n-1}$. Así, $n\leq 3$. $n\not=2$ ,debido a $G$ ser $\mathbb{Z}_{p^2}$ o $\mathbb{Z}_p\oplus \mathbb{Z}_p$. $\mathbb{Z}_{p^2}$ tiene exactamente un adecuado no trivial de los subgrupos. $\mathbb{Z_p}\oplus\mathbb{Z}_p$ tiene más de dos no-trivial adecuada subgrupos: $\langle(1,0)\rangle,\langle(1,1)\rangle,\langle(0,1)\rangle$. $n=0,1$ también llevan a la contradicción fácilmente.

Answer 3

Supongamos que $G$ tiene exactamente dos trivial adecuada subgrupos $H$$K$.

Si $K$ tiene una adecuada subgrupo no trivial, entonces $H \leq K$. Por lo tanto $K$ tiene exactamente una adecuada subgrupo no trivial, lo que significa que $K$ es cíclico de orden $p^2$. Por lo tanto $G$ debe ser un $p$-grupo de orden $p^3$, y cualquier elemento $x \not\in K$ generará $G$.

Si $H$ $K$ no tienen la trivial subgrupos, $H$ $K$ será cíclico de primer orden. Está claro que $H$ $K$ será normal subgrupos y que $G$ es cíclico de orden $pq$.

Intenta clasificar los grupos con exactamente $n$ subgrupos para las pequeñas $n$. Este es el caso de la $n = 4$. Usted puede tratar de hacer el caso de $n = 5$ mediante el uso de la clasificación de los grupos con exactamente $n = 1, 2, 3, 4$ subgrupos. Un punto de partida es el aviso de que si un grupo con $n$ subgrupos contiene un subgrupo con $n-1$ subgrupos, va a ser cíclico.

Después de que usted puede pensar acerca de cómo el número de subgrupos afecta a la estructura de los grupos. ¿Cuál es el mayor $k$ de tal manera que cada grupo de con $\leq k$ subgrupos es cíclico? Abelian?