Demostrando una serie para el Watson Triple Integrales?

Question

Es sabido por mucho tiempo que la primera Watson triple integral se evalúa a,

$$I_1 = \frac{1}{\pi^3} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{dx \, dy \, dz}{1-\cos x \cos y \cos z} = \frac{\Gamma^4\left(\tfrac{1}{4}\right)}{4\pi^3} = 1.3932039\dots$$

Al parecer, es también equivalente a la simple serie infinita,

$$I_1= \frac{4}{3} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4n)!}{n!^4} \frac{1}{(2 \cdot 18^2)^n} $$

que está conectado a la Ramanujan tipo pi fórmula,

$$\frac{1}{\pi}= \frac{2}{9} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(4n)!}{n!^4} \frac{7n+1}{(2 \cdot 18^2)^n} $$

He encontrado estas series para $I_1$, $I_2$, y $I_3$. El uso de Mathematica, es fácil ver que están de acuerdo en un número arbitrario de dígitos decimales. Pero si usted puede probar ellos de manera rigurosa, sería interesante saber cómo. Más detalles se encuentran en,

http://sites.google.com/site/tpiezas/0025

Answer 1

La suma

$$ \frac{4}{3} \sum_{n \ge 0} \frac{(4 n)!}{(n!)^4} z^4 = \frac{4}{3} \sum_{n \ge 0} \frac{ (\frac{1}{4})_n (\frac{3}{4})_n (\frac{1}{2})_n }{ (1)_n (1)_n} \frac{(256 z)^n}{n!} = \frac{4}{3} {}_3F_2\left( \left. \begin{array}{c} \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ 1, 1 \end{array} \right| 256 z \right) $$

Esta particular función hipergeométrica puede ser expresado en términos de la integral elíptica completa:

$$ {}_3F_2\left( \left. \begin{array}{c} \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \\ 1, 1 \end{array} \right| w \right) = \frac{4 \sqrt{2} }{ \pi^2 } \frac{ K\left( \frac{1}{2}- { \frac{1}{\sqrt{2(1+ \sqrt{1-w} )} } } \right)^2}{ \sqrt{(1 + \sqrt{1 - w}) } } $$

Para $z =\frac{1}{2 \cdot 18^2}$, $w =\frac{32}{81}$. A continuación, los resultados que

$$ I_1 = \frac{4 \sqrt{2}}{\pi^2} \left(K\left(\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{2}}{8}\right)\right)^2 $$ Ahora elíptica integrales para determinados módulos son conocidos relacionados con funciones gamma. Estos son conocidos como valores singulares de las integrales elípticas.