¿Existe algún truco eficaz (aparte de hacer ejercicios) para desarrollar la intuición en topología?
La pregunta es general pero me gustaría añadir mi visión de las cosas.
Hace un par de meses empecé a enseñarme topología a través de varios libros. Ya he pasado el punto de estar abrumado por la cantidad de definiciones. La mayoría las recuerdo, aunque a veces las reviso para recordármelas (después de todo, tengo una memoria terrible).
La cuestión es que la mayoría de los teoremas y ejercicios que demuestro no se asimilan y, por lo general, cuando tengo que demostrar un enunciado, empiezo por las definiciones y sigo a partir de ahí. Creo que forma parte de la naturaleza de la asignatura. Hojeando Contraejemplos en topología realmente me hace girar la cabeza (todas las implicaciones unidireccionales... ¿qué ha sido del "si y sólo si"?)
Esto contrasta con los problemas de análisis, en los que tengo una imagen visual que me dice inmediatamente si una afirmación es verdadera o falsa, incluso antes de empezar a demostrarla.
Creo que el tiempo aquí es un elemento clave y la intuición se desarrollará inevitablemente en algún momento y por eso mi pregunta es:
¿Hay alguna eficiente manera de desarrollar la intuición en topología?
Por intuición entiendo un modelo mental que te ayuda a ver las cosas con más claridad, por ejemplo: Si te dan un espacio con ciertas propiedades (por ejemplo, el primer espacio hausdorff contable y contablemente compacto), tu intuición te dice que tiene que tener otras propiedades ( $T_3$ en este caso).
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Hay muchas iffs en topología (por ejemplo, en los espacios metrizables la separabilidad, la segunda contabilidad y la propiedad de Lindelöf son equivalentes). Pero cuando se investiga la estructura de los espacios con gran detalle, inevitablemente se obtienen jerarquías de propiedades, y cuando se tienen verdaderas jerarquías, se tienen ifs que no son iffs.
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Normalmente prefiero memorizar algunos lemas en si -en contraste con el sólo si -forma. Por ejemplo, en los espacios de Hausdorff localmente compactos, un subconjunto es localmente compacto si es la intersección de un conjunto cerrado y uno abierto. Ahora bien, para algunas personas lo localmente compacto incluye a Hausdorff, por lo que siempre tendrán un "si", pero esto camufla el hecho de que Hausdorff te da la implicación "sólo si" mientras que lo localmente compacto te da el "si". Por otro lado, deberíamos intentar demostrar que la implicación inversa también es cierta siempre que sea posible, pero sin tener que añadir ninguna hipótesis.
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Quizá sólo seas un analista de corazón ;)