$M_n( \mathbb {Z}) = SL_n( \mathbb {Z}) + SL_n( \mathbb {Z})$

Question

Me encontré con el siguiente problema y estoy atascado.

Deje que $n>1$ ser un número entero parejo, y $A \in \mathcal {M}_n( \mathbb {Z})$ .

Mostrar que existen $B,C \in \mathrm {SL}_n( \mathbb {Z})$ de tal manera que $A=B+C$ .

Cualquier indicio es apreciado.

Answer 1

Ideas :

Utilice Forma normal de Smith . Entonces $M=PDQ$ donde $D$ es una matriz diagonal y $P,Q$ son matrices invertibles en $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ con $det(P)=det(Q)=\pm{1}$ .

Answer 2

Primero puede demostrar la siguiente conjetura. Si es cierta, el enunciado en cuestión es casi trivial.

Conjetura. En $m\ge2$ cada $m\times m$ matriz entera $B$ es la suma de dos matrices enteras $C$ y $D$ con $\det(CD)=(-1)^m$ .

Prueba del enunciado principal cuando la conjetura es cierta. Sea $n=2m\ge4$ . Particionar el $n\times n$ matriz entera $A$ en cuatro subbloques de igual tamaño, es decir $A=\pmatrix{X&Y\\ Z&W}$ . Escriba a $X=C_1+D_1$ y $W=C_2+D_2$ según la conjetura. Intercambiar los papeles de $C_1$ y $D_1$ si es necesario, para que $\det(C_1)=\det(C_2)$ . Entonces $A=\pmatrix{X&Y\\ Z&W}=\pmatrix{C_1&Y\\ 0&C_2}+\pmatrix{D_1&0\\ Z&D_2}$ es la suma requerida. $\square$

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Demostración esquemática de la conjetura. Aunque creo que las siguientes ideas funcionan, puedo estar equivocado y debes verificar cada paso cuidadosamente.

Demostraremos la conjetura anterior por inducción matemática. Obsérvese que $B=C+D$ con $\det(CD)=(-1)^m$ sólo si $PBQ=PCQ+PDQ$ con $\det\left((PCQ)(PDQ)\right)=(-1)^m$ para cualquier matriz entera $P$ y $Q$ con determinantes $\pm1$ . En otras palabras, la conjetura es invariante bajo la multiplicación por la izquierda o por la derecha de matrices con determinantes unitarios a $B$ .

Hay tres tipos de matrices enteras que tienen determinantes unitarios y son pertinentes para nuestra conjetura. La primera es una matriz de permutación. La segunda, que llamaré "Matriz GCD" se utiliza para convertir una de las dos entradas no nulas de la matriz $a$ y $b$ en la misma fila o la misma columna en $d=\operatorname{gcd}(a,b)$ . Para ilustrarlo, supongamos $ax+by=d$ para algunos números enteros $x$ y $y$ . Entonces $$ \underbrace{\pmatrix{x&y\\ -\frac bd &\frac ad}}_{\large\det=1} \pmatrix{a\\ b} =\pmatrix{d\\ kd} $$ para algún número entero $k$ . En consecuencia, se puede utilizar un tercer tipo de matriz entera -- una matriz elemental para la eliminación de Gauss -- para convertir una entrada en cero: $$ \pmatrix{1&0\\ -k&1} \pmatrix{x&y\\ -\frac bd &\frac ad}\pmatrix{a\\ b} =\pmatrix{d\\ 0}. $$

Ahora, supongamos que el caso base $m=2$ es verdad. En el paso inductivo, podemos utilizar algunas matrices de permutación apropiadas, matrices GCD y eliminaciones de Gauss para convertir la última entrada de $B$ a cero. Por lo tanto, se puede descomponer $B$ en la suma deseada de forma similar a como descomponemos $A$ (con $0=-1+1$ al descomponer la última entrada).

Para el caso base $m=2$ modulo permutaciones de filas o columnas, basta con considerar los tres casos siguientes.

1. $B$ es diagonal. Tenemos $\pmatrix{a&0\\ 0&d}=\pmatrix{a&1\\ 1&0}+\pmatrix{0&-1\\ -1&d}$ .
2. $B=\pmatrix{a&b\\ 0&0}$ con $a,b\ne0$ . Mediante multiplicaciones por la derecha de una matriz GCD y una matriz de eliminación de Gauss, se puede matar el $(1,2)$ -ésimo elemento y giro $B$ en una matriz diagonal.
3. $B=\pmatrix{a&b\\ c&d}$ con $a,b,c\ne0$ . Mediante multiplicaciones por la izquierda de la matriz GCD y la matriz de eliminación de Gauss, podemos matar $c$ y supongamos que $B$ es de la forma $\pmatrix{a&b\\ 0&d}$ con $a,b\ne0$ . Teniendo en cuenta el caso 2, podemos suponer además que $d\ne0$ . Mediante una multiplicación por la izquierda de la matriz GCD seguida de una multiplicación por la derecha de otra matriz GCD, se puede convertir el $(1,2)$ -ésima entrada de $B$ en $\operatorname{gcd}(a,b,d)$ . En este punto, el nuevo $B$ ya no es triangular superior, sino que todas sus entradas son múltiplos enteros del nuevo $b$ (que es el GCD del $a,b,d$ ). Por lo tanto, se pueden utilizar eliminaciones gaussianas los dos elementos diagonales, y la resultante $B$ se convierte en una matriz antidiagonal, que se reduce al caso 1 por permutación.