¿Cómo podemos derivar nuevas reglas de inferencia?

Question

He estado jugando con un sistema de reglas de inferencia para la lógica proposicional. Puedo utilizar el sistema para demostrar teoremas; pero mi pregunta es, ¿puedo utilizar el sistema para la obtención de nuevas reglas de inferencia?

Aquí están los detalles. Comenzamos con 5 reglas de inferencia, y 0 axiomas.

(1) Prueba por contradicción. Podemos abrir una prueba/subproof asumiendo $\neg A$. Si obtenemos una contradicción, podemos cerrar la prueba/subproof y deducir $A$.

(2) Doble Negación Eliminación. $$\neg\neg A \vdash A$$

(3) Junto A Su Eliminación. $$A \wedge B \vdash A,\quad A \wedge B \vdash B$$

(4) De Morgan Principios.

$$\neg(A \wedge B) \vdash \neg A \vee \neg B,\quad \neg(A \vee B) \vdash \neg A \wedge \neg B$$

(5) [no Sé cómo Llamar A Esto]

$$(\neg A \vee \neg B), A \vdash \neg B,\quad (\neg A \vee \neg B), B \vdash \neg A$$

Ahora me parece que puedo probar un montón gracias al uso de estas reglas; supongo que la lógica es completa. Para un ejemplo simple, permite demostrar $\neg(A \wedge B) \vee (B \wedge A).$ Asume que no.

Entonces por De Morgan, obtenemos $\neg\neg(A \wedge B) \wedge \neg(B \wedge A)$.

El uso de ambas versiones de la regla (3), obtenemos

• $\neg\neg(A \wedge B)$
• $\neg(B \wedge A)$

que (2) se convierte en

• $A \wedge B$
• $\neg(B \wedge A)$

que el uso de ambas versiones de la regla (3) de nuevo, se convierte en

• $A$
• $B$
• $\neg(B \wedge A)$

que (gracias por la corrección, Doug) se convierte en

• $A$
• $B$
• $\neg B \vee \neg A.$

Finalmente, usando la regla (5), de $B$ $\neg B \vee \neg A$ deducimos $\neg A$.

Dado que tanto $A$ $\neg A$ son por escrito, vamos a hacer!

Bien, así que hemos demostrado el teorema $\neg(A \wedge B) \vee (B \wedge A).$, Pero, me gustaría ver esto como una nueva regla de inferencia en lugar de un teorema. Me permite deducir que $A \wedge B \vdash B \wedge A$ es la admisibilidad de una regla de inferencia? En general, ¿cómo hace uno para deducir una nueva regla de inferencia?

Por ejemplo, es un principio general de que si tenemos un teorema de la forma general de la $\neg \Gamma \vee \Delta$, entonces se sigue que $\Gamma \vdash \Delta$ es la admisibilidad de una regla de inferencia?

Es a la inversa verdad?

De igual manera, supongamos que queremos demostrar que una regla de la forma $\Gamma, \Gamma' \vdash \Delta$ es admisible. Es suficiente para comenzar el juego con $\Gamma$ $\Gamma'$ escrito, y deducir $\Delta$? Si es así, ¿por qué? Estoy teniendo dificultad para organizar mis pensamientos sobre el tema.

Answer 1

Lo que la nueva regla de inferencia podría ser esto? ¿Qué tal una regla que diga que usted podría deducir de ((A∧B)∨(B∧A))? Sí, usted puede obtener las reglas de inferencia a través de la escritura de las pruebas. Para su caso muestran que a partir de (A∧B), se puede deducir (B∧A) para el sistema (pero no se puede descargar una suposición como lo hizo en su prueba... prueba por contradicción de las descargas de los suposición). Entonces usted tendría (A∧B)⊢(B∧A) como un derivado de la regla de inferencia.

Y sí, usted puede tener varias cosas en la izquierda. Ya tiene dos de estas reglas, reglas cubiertos por (5). Pero, supongo que quería ver al menos tres cosas a la izquierda para convencer de esto. Digamos que nuestra única reglas de inferencia son desapego (básicamente modus ponens) y la sustitución de las variables y nuestros axiomas (en notación polaca) son las siguientes tesis:

1) CCqrCCpqCCrsCps Sorites

2) CCpCqrCCpqCpr Frege

1 p/CpCqr, r/CCpqCpr * C2-3

(n x/Czy significa que x se sustituye con Czy en la fórmula con el numeral n, Ca-b indica que la tesis n es el antecedente de la fórmula después de que hemos hecho las sustituciones en el n de la fórmula, se tiene consiguiente b, y por lo tanto nos separe tesis b)

3 CCpCpCqrCCCCpqCprsCps

De la tesis 3 y desprendimiento de ello se sigue que "CpCpCqr, CCCpqCprs, p⊢s" es una deriva de la regla de inferencia. Se puede demostrar que la siguiente manera:

1 CpCpCqr asunción

2 CCCpqCprs asunción

3 p asunción

---

4 CCCCpqCprsCps tesis 3, 1 desprendimiento de

5 Cps 4, 2 desprendimiento

6 s 5, 3 desprendimiento

Además, si se mira en la justificación de la "CpCpCqr, CCCpqCprs, p⊢s" como se desprende de la regla de inferencia, se pueden encontrar otras que se pueden derivar reglas de inferencia también. Voy a aclarar esto si te gusta.

Si usted tiene una Deducción de (meta) Teorema para su sistema, o una regla de introducción condicional, usted puede obtener otra regla de inferencia R' de cualquier regla de inferencia R, que tiene varios locales por la aplicación de la regla de introducción condicional/la teoría de la Deducción del Teorema. Por ejemplo, con "CpCpCqr, CCCpqCprs, p⊢s" suponiendo que tuvimos una deducción del teorema o regla de introducción condicional, podríamos inferir "CpCpCqr, CCCpqCprs⊢Cps" como una regla de inferencia.

Ahora, que me hizo decir "pensando". El sistema {CCqrCCpqCCrsCps, CCpCqrCCpqCpr} bajo el desapego y la sustitución en realidad no tiene un condicional-en la regla o Teorema de la Deducción. Pero, todavía podemos conseguir que la segunda regla. La mitad de lo que algunos autores llaman el Teorema de la Deducción, o lo que yo llamaría El Desprendimiento Teorema dice esto:

Para cualquier sugerencia $\alpha$, $\beta$ "Si C$\alpha$$\beta$ se mantiene, si $\alpha$ también, a continuación, $\beta$ sostiene también." (esto no es como el desprendimiento que dice "de C$\alpha$$\beta$, así como $\alpha$, podemos inferir $\beta$ desprendimiento para justificar El Desprendimiento de Teorema, pero no a la inversa.") El resultado de todo esto viene como con un conjunto de premisas $\gamma$, de $\gamma$ $\vdash$Cpq podemos inferir ($\gamma$ U {p}) $\vdash$ q. O en otro simbolismo que podría escribir

"a partir de $\alpha$, ..., $\omega$ $\vdash$ Cpq, podemos inferir $\alpha$, ..., $\omega$, p $\vdash$ q."

Así que, desde que se deriva de la CCpCpCqrCCCCpqCprsCps tenemos $\vdash$CCpCpCqrCCCCpqCprsCps. Por lo tanto, como reglas de inferencia podemos derivar mediante el Desprendimiento Teorema:

1: CpCpCqr $\vdash$ CCCCpqCprsCps. A partir del 1 y el Desprendimiento Teorema podemos deducir

2: CpCpCqr, CCCpqCprs $\vdash$ Cps. Desde el 2 y el Desprendimiento Teorema podemos deducir

3: CpCpCqr, CCCpqCprs, p $\vdash$ s.

Si queremos justificar cada una de esas reglas sin El Desprendimiento Teorema en una prueba que podría escribir lo siguiente:

1 CCpCpCqrCCCCpqCprsCps por la derivación anterior

2 $\alpha$ CpCpCqr asunción

3 $\alpha$ CCCCpqCprsCps 2, 1 batallón (por lo tanto la regla 1 anterior)

4 $\alpha$$\beta$ CCCpqCprs asunción

5 $\alpha$$\beta$ Cps 3, 4 desprendimiento (por lo tanto la regla 2 anterior)

6 $\alpha$$\beta$$\gamma$ p asunción

7 $\alpha$$\beta$$\gamma$ s 6, 7 desprendimiento (por lo tanto la regla 3 anterior)

Answer 2

Usted escribió: "[no Sé cómo Llamar A Esto] (A∨B),Un⊢B,(a∨B),B⊢"

La respuesta no se encuentra SÓLO mediante deducción natural reglas. De hecho, hay más reglas de inferencia que eso. El uno, en particular, usted no sabe el nombre de es y ha sido nombrado "Disyuntiva Silogismo". Va como este, por ejemplo: 1. ya sea que usted es un republicano o un demócrata. (i o d). 2. Usted no es un demócrata. (no d). Por lo tanto, usted es republicano. (Por lo tanto r.)

(Por supuesto, esto es proporcionada SÓLO hay dos alternativas, que el contexto anterior es de más de 2 alternativas). El argumento de la forma anterior es válida para todas las disyunciones. Válido no significa que la afirmación es verdadera. La solidez ofertas con la verdad! El caso de ejemplo de arriba está claro que NO es el SONIDO sin embargo. La forma válida para disyuntiva silogismo es (p v q), negar exactamente una tensión dialéctica; por lo tanto, la conclusión de la posibilidad de sobra. Esto también va por el nombre de "proceso de eliminación".

Si usted piensa en el ejemplo de arriba se ve una falacia: la falacia de bifurcación. La razón es una falacia NO es un caso formal; tiene que ver con el contenido de la proposición. La bifurcación es un error en el contenido, porque más que existen dos alternativas que se da; tal vez alguien está tratando de intimidar o tratando de persaude de lo que quieren en lugar de elegir de entre todas las alternativas disponibles. Si utiliza una absoluta caso con exactamente dos alternativas (sin posibilidad de una tercera, una cuarta, etc.) a continuación, todos los resoning con la disyuntiva silogismo formulario de sonido; todos los argumentos sólidos, que DEBE ser válido. Es el usuario de la discusión para saber lo que él o ella está haciendo que a ciegas y, literalmente, seguir las reglas.