Supongamos que tenemos un algebraicamente cerrado campo de $F$ con una norma (donde $F$ es considerado como espacio vectorial sobre sí mismo), por lo que el $F$ no es completa como una normativa espacio. Deje $\overline F$ ser su conclusión con respecto a la norma.
Es $\overline F$ necesariamente algebraicamente cerrado?
Gracias.
La respuesta es sí, y el tema se discute en detalle en $\S 3.5-3.6$ de estas notas de un graduado reciente de la teoría de números supuesto.
Es muy parecido a como de Akhil sugiere: la idea clave es Krasner del Lema (introducido y explicado en mis notas). Sin embargo, como Krasner del Lexema pertenece a extensiones separables, hay un poco más de trabajo que necesita ser hecho en característica positiva: ¿cómo podemos saber que $\overline{F}$ es algebraicamente cerrado en lugar de sólo separadamente cerrado?
La respuesta es dada por el siguiente hecho (por la Proposición 27 de p. 15 de mis notas):
Un campo que se separadamente cerrado y completo con respecto a un trivial de valoración es algebraicamente cerrado.
La idea de la prueba es aproximado puramente inseparable de extensión por una secuencia de (necesariamente separables) Artin-Schreier extensiones. Probablemente debería mencionar también que he encontrado este argumento en algunas notas de la conferencia de Brian Conrad (y todavía no he encontrado en los textos clásicos sobre el tema).
Tenga en cuenta que Corolario 28 (es decir, el siguiente resultado) es la respuesta a su pregunta.
Sí, (suponiendo que el campo es nonarchimedean) esto se deduce de Krasner del lexema. El punto es que si algún elemento $\alpha$ es algebraico sobre $\overline{F}$, entonces debe satisfacer un monic ecuación polinómica con coeficientes en $\overline{F}$; por lo tanto debe estar muy cerca de la satisfacción de un monic ecuación polinómica con coeficientes en $F$, y, en particular, deben estar muy cerca de la raíz de esta segunda monic ecuación polinomial (en $F$). Ahora Krasner del lema implica (si tomamos este segundo polinomio muy cerca de la primera) que $\alpha \in F$.
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