Álgebra conmutativa sin el axioma de elección

Question

Es bien sabido que en un anillo conmutativo con unidad, todo ideal propio está contenido en un ideal maximal. La prueba utiliza el axioma de elección. Este hecho, y otros que se demuestran utilizando esencialmente el mismo argumento, anclan una gran parte del álgebra conmutativa.

Supongamos ahora que desautorizamos el uso del axioma de elección. Mi opinión es que este hecho debería seguir siendo válido, salvo en el caso de anillos muy patológicos. Me parecería impar si el álgebra conmutativa dependiera totalmente del axioma de elección. También recuerdo haber oído que había un argumento que no utilizaba el axioma de elección para anillos suficientemente bonitos, así que esta cuestión no es totalmente especulativa.

Entonces, suponiendo que trabajamos sin el axioma de elección, ¿para qué anillos podemos demostrar que todo ideal propio está contenido en un ideal máximo? ¿Cómo se hace esto? ¿Y qué caracteriza a los anillos en los que no podemos?

Answer 1

No debería sorprender en absoluto que el axioma de elección esté tan implicado en la mayor parte de las matemáticas modernas. La razón también es sencilla: las cosas generadas finitamente se comportan muy bien por naturaleza, sin embargo, con el paso del tiempo empezamos a explorar cosas que no son generadas finitamente (por ejemplo, espacios de medida, anillos de funciones, etc.) y el axioma de elección es una gran herramienta para controlar estas cosas.

Es cierto, si sólo le interesan, por ejemplo, los anillos de cardinalidad inferior a $2^{2^{\aleph_0}}$ entonces probablemente no necesites todo el axioma de elección, bastarían pequeños fragmentos para que todo se comportara bien. Sin embargo, ¿por qué limitarse por la cardinalidad cuando el argumento sería válido para todas las estructuras similares? Así que simplemente asumimos el axioma de elección y corremos con él.

¿Qué tipo de cosas podrían romperse? He aquí algunos ejemplos rápidos:

1. El existencia de ideales máximos en anillos unitales;
2. No todo espacio vectorial tiene una base, y un argumento similar demostraría que no todo módulo proyectivo sobre $\mathbb Z$ es gratis;
3. Para los grupos abelianos la inyectividad ya no es equivalente a la divisibilidad;
4. Si las cosas se rompen real malo entonces no hay suficientes objetos proyectivos en $\mathbf{Ab}$ y tampoco hay suficientes injertos;
5. No todo conjunto es un conjunto subyacente de un grupo.

Si se llega aún más lejos, al lugar donde la topología comienza a tomar una parte importante del trabajo (por ejemplo, grupos topológicos/espacios vectoriales/etc.) entonces el axioma de elección se convierte en una herramienta aún más importante.

Sin embargo, no todo está perdido. Si su anillo puede estar bien ordenado, puede seguir aplicando la mayoría de los argumentos estándar. Si su conjunto de potencias también puede estar bien ordenado, entonces tienes aún más.

¿Qué tipo de conjuntos comunes se garantiza que estén bien ordenados en ZF? Bueno... conjuntos contables. Eso es todo. Si asumes más, pues más. Sin embargo, no hay ninguna garantía de que eso ocurra.

Así que para responder a su pregunta posterior: No soy consciente de la existencia de dicha clase, además no creo que haya una descripción "bonita" de los anillos con los que se pueda trabajar en ZF. En todo caso, yo esperaría que la mayoría de las cosas fallaran en el tamaño continuo o menos.

Answer 2

Como puede ver en esta pregunta relacionada La existencia de ideales máximos en anillos con unidad es equivalente al axioma de elección.

Si te interesa la consecuencia del axioma de elección, leer esto .

Para anillos que no tienen ideales máximos, leer esto . También este documento proporciona una caracterización de los anillos conmutativos sin ideales maximales.

EDIT: Después de ver la pregunta reformulada del OP en los comentarios, ver esto pregunta relacionada .

Answer 3

[ Entonces, suponiendo que trabajamos sin el axioma de elección, ¿para qué anillos podemos demostrar que todo ideal propio está contenido en un ideal máximo? ¿Cómo se hace esto? ]

La mayoría de los anillos que se encuentran en la geometría algebraica. Por ejemplo, los anillos generados finitamente sobre un campo y sus localizaciones. Para la demostración, véase este hilo .