¿Qué significa si $\det(A)$ es igual a $1$? Qué significa que la matriz de identidad puede ser obtenida a partir de a $A$ por sólo añadir múltiplos de filas a los demás?
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Aoeuid
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Matrices con determinante $1$ preservar el volumen. Si todos los puntos dentro de una forma son transformadas por la matriz para formar una nueva forma, el cambio proporcional en la zona (o volumen) es el determinante de la matriz. Por ejemplo, si el determinante de una matriz de $A$$5$, luego de un cubo unitario se transformará en una forma con volumen $5 \times 1=5$. La matriz de identidad para transformar una unidad de cubo en una forma con volumen $1 \times 1 = 1$.
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Después de leer el apreciado comentario de @danielV, he añadido esta imagen desde el Determinante y la transformación lineal a dar más explicaciones.
Representa la transformación de una unidad cuadrada por un determinante 4 de la matriz. Observe que el área del nuevo cuadrado es $1 \times 4 = 4$.
proy
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Por lo general, cuando hablamos de la determinante sin ninguna otra información adjunta, el único realmente la información pertinente es si es o no es cero. Sin embargo, si estamos interesados en la geometría, hay algún significado para matrices con determinante $1$. Es decir, un subconjunto importante de ellos forma el llamado especial ortogonal grupo, que es sólo una forma elegante de decir que ellos son como generalizaciones de las rotaciones.
[nota: Como se mencionó en los comentarios, yo estaba un poco demasiado ansioso. Hay (muchas) de las matrices de determinante $1$ que no es especial ortogonal. No sé de ningún obteniendo propiedades que todas las matrices de determinante $1$ poseen, excepto que son de volumen-la conservación, como señaló Semsem.]
Por ejemplo, las matrices de la forma $$\begin{pmatrix}\sin\theta & \cos\theta \\ -\cos\theta & \sin\theta \end{pmatrix}$$ tiene determinante 1, y usted puede probar estos corresponden precisamente a una rotación por $\theta$ (no recuerdo si es en sentido horario o en sentido antihorario cuando se $\sin$ está en la parte superior izquierda).
¿Qué propiedades de las rotaciones no poseen? Para responder a esta pregunta, usted necesita una cierta familiaridad con una matriz no sólo como una herramienta para armar un sistema de ecuaciones-que es como me fue enseñado por primera vez de ellos, por desgracia. Usted puede pensar en ellos como siendo realmente las funciones que toman en vectores y escupir otros vectores, y estos corrospond a transformaciones geométricas del espacio vectorial (así, el plano o el espacio tridimensional, o más allá). No estoy seguro de qué nivel vas a venir a este; solo quiere decir que hay varias maneras de mirar las matrices y uno de ellos es un poco más abstracto (por lo que no se enseña en algunas clases), pero es buena para la comprensión de por qué el determinante-una de las matrices son como las rotaciones.
En primer lugar, la orientación de preservar lo que significa que un diestro sistema nunca se convierte en un zurdo sistema. O, no hay imagen se asignan en virtud de la transformación de su imagen en el espejo (a menos que ya era simétrica). También están a distancia-conservar en que los puntos que se $d$ distancia antes de que se actúe sobre permanecen $d$ distancia una de la otra después.
Para lo que vale, Sabyasachi de la construcción es válida incluso si sólo fila manipulaciones permitidas. Sin embargo, ver los comentarios de algunas sutilezas acerca de la fila-reducción; algunos menores de definiciones puede cambiar su capacidad para hacer o no hacer esto.
$$A = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$$
$$R_2 \to R_2 - R_1$$
$$\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$$
$$R_1 \to R_1 - R_2$$
$$\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$$
$$R_2 \to R_2 - R_1$$
$$\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$$
$$R_1 \to R_1 + R_2$$
$$\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$$
$$R_2 \to R_1 + R_2$$
$$\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}$$
$$R_2 \to R_2 - 2R_1$$
$$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}= I_2$$
freespace
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NOTA: Mi respuesta original era acerca de una cuestión diferente. (He considerado sólo añadir múltiplos enteros de algunos de fila.) Me han cambiado totalmente, esperemos que la nueva respuesta es correcta.
Otras respuestas ya dio explicaciones sobre el sentido geométrico de $\det(A)=1$, así que permítanme responder a las preguntas acerca de la fila de las operaciones.
Empecemos por la comprobación de lo que se puede obtener a partir de algunas regular matriz $A$ mediante el uso de un solo tipo de fila de las operaciones. (La adición de varios de algunos de fila a otra fila.)
Podemos intercambiar filas, con el cambio de signo de uno de ellos
Si queremos que el intercambio de filas $\vec\alpha_1$ $\vec\alpha_2$ podemos proceder de la siguiente manera: $$\begin{pmatrix}\vec\alpha_1\\\vec\alpha_2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\vec\alpha_1\\\vec\alpha_1+\vec\alpha_2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-\vec\alpha_2\\\vec\alpha_1+\vec\alpha_2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}-\vec\alpha_2\\\vec\alpha_1\end{pmatrix}.$$
Podemos obtener de $A$ una matriz diagonal.
Procedemos del mismo modo como con la eliminación Gaussiana, sólo que no se nos permite multiplicar las filas, por lo que no conseguimos $1$'s en diagonal, en cambio, obtener algunos distinto de cero elementos.
Nos inductivamente repita estos dos pasos:
- Si en el $k$-ésimo paso el elemento $b_{kk}$ es no-cero que se utiliza para obtener ceros en todas las otras filas de la $k$-ésima columna.
- Si $b_{kk}=0$, al menos uno de los elementos $b_{k,k+1},\dots,b_{k,n}$ debe ser distinto de cero. (De lo contrario tendríamos $\det(A)=0$.) El intercambio de filas, de tal forma que obtenemos número distinto de cero en esta posición. Entonces podemos proceder como antes.
A partir de la diagonal de la matriz, podemos obtener la matriz identidad $I$.
Nos inductivamente repita los pasos como estos: $$\begin{pmatrix}d_1&0\\0&d_2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}d_1&0\\1&d_2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&-d_1d_2\\1&d_2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}0&-d_1d_2\\1&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-d_1d_2\\1&0\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\\0&d_1d_2\end{pmatrix}$$
Mediante la repetición de tales paso varias veces que podemos llegar a $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ddots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & d_1d_2\dots d_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ddots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{pmatrix}=I_n $$
Sabyasachi
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Decir $\det(A) = 1$,significa que es el factor determinante es
$$ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\ \end{de la matriz} $$ and the determinant evalutes to one. Since $\det(A) = \det(I)$, $A = I_n$ where $I_n$ es la matriz identidad de n filas.
Por lo tanto, por la fila de manipulación en principio debe ser capaz de producir la matriz de identidad, pero es difícil decir lo complicado que las manipulaciones tiene que ser.
En respuesta a k.del stm pregunta acerca de una matriz especialmente en un comentario más abajo OP pregunta.
$$A = \begin{matrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix}$$
$$C_1 \to C_1 - C_2$$
$$A = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$$
$$R_1 \to R_1 - R_2$$
$$A = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$$
$$C_1 \to C_1 - C_2$$
$$A = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & -1\end{pmatrix}$$
$$R_2 \to R_2 - 2R_1$$ and $$R_1 \to R_1 + R_2$$
$$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$
y voila!
