Observables trascendental autovalores

Question

¿Hay algún "natural" físicos observables tienen un punto vacío del espectro que se compone de números que no son números algebraicos?

Answer 1

No tengo una respuesta completa, pero tal vez el siguiente es útil para sus propósitos:

Considerar el Laplaciano $\Delta$ sobre un tambor circular de radio de la unidad. Como se explica en la página de wikipedia, la simetría axial de autovectores $\Delta u(r) = -\lambda^2 u(r) $ son funciones de Bessel $u(r)=J_0(\lambda r)$. Obviamente, la condición de frontera requiere de $J_0(\lambda)=0$. En otras palabras, los valores propios de este Laplaciano corresponden a los ceros de funciones de Bessel, y yo estaría muy sorprendido si estos números no son trascendentales. De hecho, Mathworld , se menciona que el primer cero ha sido demostrado ser trascendental por Le Lionnais.

La correspondiente mecánica cuántica situación sería el operador de Hamilton $H=-\hbar^2/2m\cdot \Delta$ libre 2D electrón confinado a la unidad de disco. Las condiciones de frontera son los mismos, $\psi|_{ \partial\Omega}=0$.

Por supuesto, el electrón tiene el problema de que no está claro si $\hbar= h/2\pi$ debería ser considerado como trascendental o algebraicas, físicos frecuentemente a $\hbar = 1$.

Por ejemplo, considere una 1D de electrones en el interior de una caja de longitud $L$, es decir,$\psi(0)=\psi(L)=0$. Los autoestados son simplemente las ondas estacionarias, y los valores propios son

$$ E_n = \frac{\hbar^2}{2m_e} \left(\frac{\pi n}{L}\right)^2.$$

Si recuento $h$ algebraicas, entonces este es algebraico. Pero si recuento $\hbar$ algebraicas, entonces este es trascendental. Su forma es, probablemente, de convertir la cuestión en una relación uno: hay un físico observable cuyos autovalores son algebraicamente independientes de la $E_n$? Claramente, usted sólo necesita considerar los autovalores del operador de Laplace ahora.

Answer 2

Trascendental números a menudo pop en mayor bucle diagrama de Feynman cálculos. Un ejemplo es el espectro de los operadores locales en $\mathcal{N}=4$ supersimétrica de Yang-Mills teoría, donde la anómala dimensiones en mayor bucles en general contienen $\zeta$-funciones. Como un ejemplo, la dimensión del operador $\mathop{Tr} \phi^a\phi^a$ está dado por perturbativa $$\gamma = 4 + 12g^2 - 48g^4 + 336g^6 + (-2496+576\zeta(3)-1440\zeta(5))g^8 + \mathcal{O}(g^{10})$$ (Yo no creo que exista una rigurosa prueba que demuestre que el $\zeta(n)$ es no algebraicas para los positivos y los valores impares de $n$, pero parece probable que a mí...)