¿cuál es el ejemplo más simple de un etale cubierta, lo que no es de Galois?

Question

Por "Galois de morfismos" me refiero a una de morfismos $f: Y \to X$ tal que $Y \times_X Y$ es un discontinuo de la unión de los esquemas de isomorfo a $Y$.

Deje $X$ se reducirá la curva más allá de char. 0. Me pregunto ¿cuál es un ejemplo simple de un etale de morfismos $f: Y \to X$ que no es de Galois en el anterior sentido.

actualización: ¿Qué acerca de un "geométrica" ejemplo? (es decir, la base es de campo algebraicamente cerrado).

Answer 1

Usted puede tomar (más de la característica de campo cero $\mathbb Q$) de los morfismos $$f:Y=\mathbb A_{\mathbb Q(\sqrt [3]2)}^1 \to X=\mathbb A_{\mathbb Q}^1$$ corresponding to the inclusion $\mathbb Q[T] \hookrightarrow \mathbb Q(\sqrt [3]2)[T]$

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En Dima de la petición, aquí es completamente explícito geométrica ejemplo.

Deje $A=\frac {\mathbb C[T,Z]}{(Z^3-3Z+2T)} $ $g:Spec (A)\to \mathbb A^1_\mathbb C$ el étale de morfismos correspondiente a la inclusión $\mathbb C[T] \hookrightarrow A$

A continuación, $g$ no es Galois debido a la extensión de campo $\mathbb C(T)\hookrightarrow K=Frac (A)=\mathbb C(T)(z) \;$ no es Galois desde el discriminante de $ \; Z^3-3Z+2T\;$ $\;108(1-T^2)\;$ y no es un cuadrado en $\mathbb C(T)$ .
Sin embargo $g$ no es étale, ya que se ramifica a través de $T=\pm1$.
El remedio es simple: eliminar estos dos puntos, es decir, corestrict $g$ a $$X=A^1_\mathbb C\setminus \lbrace 1,-1\rbrace=Spec(\mathbb C[T,\frac {1}{T^2-1}])$$ and restrict $g$ a $$Y=g^{-1}(X)=Spec(B)$$ donde $B=A[\frac {1}{T^2-1}]=\mathbb C[T,\frac {1}{T^2-1}](z)$.

Finalmente, la necesaria étale no Galois de morfismos es la restricción $$f=res(g):Y\to X $$

Un comentario final
En realidad no existen no trivial étale portadas de los afín a la línea de $\mathbb A^1_k$ más de una algebraicamente cerrado campo de $k$ de característica cero . (Afín a la línea se dijo entonces, como era de esperar, a ser simplemente conectado) .

Sin embargo, en el carácter $p\gt 0$, sorprendentemente, existen muchos étale portadas de los afín a la línea .
El más simple es el Artin-Schreyer cubierta $\; Spec \frac {\mathbb k[T,Z]}{(Z^p-Z-T)}\to \mathbb A^1_k=Spec (k[T]) \;$, pero hay un montón más: este es todavía un tema de investigación actual.

Answer 2

Deje $C$ ser una curva de género $2$, dicen que más de $\mathbb C$. Creo que de $C$ como una superficie de Riemann por un momento. A continuación, $\pi_1(C)$ es generado por los cuatro elementos $a,b,c,d$ la satisfacción de la relación $[a,b][c,d] = 1$. Deje $p: \pi_1(C) \to S_3$ ser el surjection que tarda $a$$d$$(12)$, e $b$$c$$(123)$, y deje $H \subset \pi_1(C)$ ser la preimagen en $p$ de un subgrupo de orden $2$$S_3$, lo $H$ índice de $3$ $\pi_1(C)$ y no es normal.

Cubrir el espacio de la teoría muestra que el $H$ corresponde a un grado $3$ cubierta $C' \to C$ de superficies de Riemann que es no Galois. Ahora el teorema de existencia de Riemann muestra que $C'$ tiene una estructura única de curva algebraica$\mathbb C$, de modo que $C' \to C$ es un etale de morfismos, que no será Galois.

Este es el más simple de la muestra en algún sentido estricto: $\pi_1$ de un género cero superficie de Riemann es trivial, mientras que $\pi_1$ de un género de una curva es abelian (para todos los subgrupos son normales), y todos los índices dos subgrupos de un grupo son normales; por lo tanto tenemos que ir a género $2$ y un grado de $3$ de cobertura con el fin de encontrar un ejemplo, y esto es lo que he hecho. [Añadido: debo añadir que este es el ejemplo más sencillo si uno quiere un etale de morfismos de las curvas; Georges encontró un simple ejemplo, en su respuesta teniendo en cuenta que no proyectiva curvas.]

Por supuesto, uno podría escribir ejemplos explícitas de ecuaciones algebraicas, pero tendría que comenzar con un género $2$ curva, que es de la forma $y^2 = f(x)$ cierto grado $5$ o $6$ ecuación y, a continuación, escriba $C'$ explícitamente. Por Riemann--Hurwitz, $C'$ género $4$, por lo que yo tendría para escribir una ecuación para un género $4$ curva, y encontrar una explícita grado $3$ mapa a $C$. No he probado a hacer esto; es probablemente un buen ejercicio, aunque.