"Un matemático es una persona que puede encontrar analogías entre teoremas; un mejor matemático es aquel que puede ver analogías entre las pruebas y el mejor matemático puede observar analogías entre teorías. Uno puede imaginar que el último matemático es aquel que puede ver analogías entre las analogías."
--Stefan Banach
Ver también aquí: Famoso matemático comillas
Así, alguien puede dar un ejemplo de una analogía entre las analogías?
Es lamentable Jan Weidner le preguntó a su pregunta: "¿alguien Puede dar un ejemplo de una analogía entre las analogías?" -- de tal manera que es poco probable que reciban muchas y muy interesantes las respuestas de la clase que se ofrece por Joel David Hamkins y philip314. No sé cómo perspicaz mi propia respuesta será, pero me pueden proporcionar un contexto para el tema de la analogía, como yo era el colaborador que añadió que las citas de Stefan Banach y Stanislaw M. Ulam a la lista de famosos matemáticos de comillas.
Es cierto que de Banach es la fuente original de la cita, pero me encontró por primera vez el tema en Ulam de las memorias de las Aventuras de un Matemático (1976; 1991). A partir de ahí me enteré de que la Universidad de California Press publicó una colección de artículos de Ulam titulado Analogías entre Analogías: La Matemática de los Informes de S. M. Ulam y Su de Los Alamos Colaboradores (1991). La colección incluye el artículo "Sobre la Noción de la Analogía y la Complejidad en Algunos Constructivo de la Matemática Esquemas" (1981). En lugar de intentar resumir Ulam resultados, voy simplemente proporcionar un extracto de la ponencia de introducción para que el lector interesado puede investigar el tema por su cuenta:
Durante todo el desarrollo de las matemáticas y con el crecimiento de los nuevos conceptos y más complicado nociones, de una forma cohesiva y la tendencia orgánica la estructura han sido guiados por un la sensación de la analogía entre el antiguo y el las nuevas ideas.
Históricamente, los problemas planteados por la el desarrollo de una nueva matemática la disciplina, que originalmente era sólo metamathematical, se unieron a la nueva partes de las matemáticas en sí. Uno podría citar, como ejemplos claros, el estudio de las transformaciones de un espacio como los puntos de un nuevo espacio de tales transformaciones, y el estudio de los algoritmos para resolver ecuaciones como entidades por sí misma (teoría de grupos, para instancia).
La creciente proliferación de nociones de matemáticas puras de mayo sugieren que la idea de la analogía sí es susceptible de matemática discusión. Uno encuentra que la edad y primaria formulaciones de esta idea son, en casos especiales, presentes en el definiciones de la similitud de figuras geométricas, más en general, en la equivalencia de figuras, a través de los elementos de un grupo de transformaciones, o, más generalmente sin embargo, a través de la identidad de proximidad de estos conjuntos en espacios en los que se agrupan ellos.
Dos abstracta de conjuntos de elementos, puede ser consideró que "análogo" si el la diferencia entre sus cardinalidades (en el caso finito) es pequeña en comparación a las cardinalidades de sí mismos. Dos las clases de estos conjuntos puede ser considerado ser análogo si el número de conjuntos en las dos clases se diferencian por "poco" y si las cardinalidades de los conjuntos correspondientes no difieren por mucho. Obviamente, uno necesita intento de formular un análisis cuantitativo de criterio, y es claro a priori que la noción de analogía no ser, en general, transitiva.
En este informe simplemente queremos discutir algunas de las características más sobresalientes de la analogía y la exposición en una clase de ejemplos en los que trataremos de definir, en primer lugar, como la proximidad en el sentido de una métrica de distancia en definido adecuadamente los espacios. (Ulam 1991; 514)
Esperemos que, Ulam del documento proporcionará algunas herramientas para hacer el tema de la analogía menos "distante".
Creo que el siguiente es buen ejemplo. Clásicos de la Teoría de Galois da una analogía entre finito étale $k$-álgebras y finito de conjuntos con una acción de la absoluta grupo de Galois $\mathrm{Gal}(k)$$k$. Teoría clásica de Cubrir Espacios da una analogía entre los cubrimientos de un agradable espacio topológico $X$ y se establece una acción de la fundamental grupos $\pi_1(X,x)$. De este curso de dos analogías pueden hacer bastante precisa con un poco de uso de la categoría de teoría.
Ahora la analogía entre este analogías es llamar a las analogías de la correspondencia de Galois y comparar los $\pi_1(X)$$\mathrm{Gal}(k)$, para llamar a ciertos revestimientos de Galois de cubierta, para comparar la cobertura universal de $X$ con el seperable cierre de $k$ y así sucesivamente.
Tamás Szamuely hermoso libro "Grupos de Galois y Fundamental de los Grupos" da un montón de detalles y mucho más acerca de la conexión de estas cosas.
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