Mostrando que $\Bbb R^3$ no es homeomórficos a $S^3$.

Question

Quiero mostrar que la $\Bbb R^3$ no es homeomórficos a $S^3$.

Ahora este medio quiero mostrar que no hay bijective función, $f$, $\Bbb R^3$ tanto $f$ $f^{-1}$ son continuas.

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Me parece que no puede resolver esto, sin embargo algunos de los pensamientos vienen a la mente:

• Si no hay bijective función de que estoy hecho.
• Todos bijective funciones no pueden ser continuas(por alguna razón) y estoy hecho.

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Para la primera, esto parece como si fuera cierto. $\Bbb S^3$ 'vidas' $\Bbb R^4$ pero supongo que es acotado, mientras que $\Bbb R^3$ es una dimensión inferior el espacio, pero que es ilimitado. Hmmm.

Para el segundo, no puedo pensar geométricamente que no podemos envolver $\Bbb R^3$ en una cuarta dimensión de la bola, de tal manera que los puntos que están cerca de la $\Bbb R^3$ todavía están cerca en $S^4$, pero ni idea de cómo hacer este riguroso.

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Básicamente mi problema se reduce a: Mostrar dos cosas son homeomórficos es lógico, pero demostrando que no parece muy difícil. Gracias

Answer 1

$S^3$ es compacto, mientras que $\mathbb{R}^3$ no lo es. Ya que cualquier función continua $f:S^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ mapas compacto de subconjuntos de a $S^3$ a subconjuntos compactos de $\mathbb{R}^3$, no puede ser surjective (o de lo $f(S^3)=\mathbb{R}^3$ también es compacto).