Demostrando $\lim_{x \to 1} \left (\tan \left(\frac{\pi x}{2} \right ) \lfloor x \rfloor \right )$ no existe

Question

Me piden demostrar que el siguiente límite no existe: $$\lim_{x \to 1} \left (\tan \left(\frac{\pi x}{2} \right ) \lfloor x \rfloor \right )$$

Mi intento fue el de romper el caso en uno de los límites laterales. Así, por ejemplo, he podido demostrar que

$$\lim_{x \to 1^+} \tan \left(\frac{\pi x}{2} \right ) = -\infty$$

y $$\lim_{x \to 1^-} \tan \left(\frac{\pi x}{2} \right ) = \infty$$

y, a continuación, mostrar que $$\lim_{x \to 1^+} \left (\tan \left(\frac{\pi x}{2} \right ) \lfloor x \rfloor \right ) \neq \lim_{x \to 1^-} \left (\tan \left(\frac{\pi x}{2} \right ) \lfloor x \rfloor \right )$$

utilizando la regla del producto para límites infinitos.

El único problema es que no puedo usar el teorema sobre el límite de una composición de funciones ( $g(t)=\pi t /2$ $f(x)=\tan{x}$ ) ni en ningún teorema relacionado con el límite de una función continua cuando se acredite $\lim_{x \to 1^+} \tan \left(\frac{\pi x}{2} \right ) = -\infty$. Yo, no obstante, puede utilizar el hecho de que $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\tan x=-\infty$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\tan x=\infty$. Hay alguna manera de que yo pueda probar con el límite de arithemtic reglas?

Answer 1

Sugerencia. Se puede observar que, como $x \to 1$, $$ \tan \left( \frac \pi2x\right)=-\frac{2}{\pi (x-1)}+\mathcal{S}(x-1) \tag1 $$ y que $$\lfloor x \rfloor =\begin{cases} 1 & \text{if } x \to 1^+ \\ 0 & \text{if } x \to 1^- \end{casos}$$ dando $$\tan \left( \frac \pi2x\right)\lfloor x \rfloor \a\begin{cases} -\infty & \text{if } x \to 1^+ \\ 0 & \text{if } x \to 1^- \end{casos}$$ thus a limit doesn't exist as $x \a 1$.

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A ver $(1)$, se puede escribir, como $x \to 1$, $$ \begin{align} \tan \left( \frac \pi2x\right)&=\tan \left( \frac \pi2(x-1)+\frac \pi2\right)\\\\&=\frac{\cos\frac \pi2(x-1)}{-\sin\frac \pi2(x-1)}\\\\ &=\frac{1+\mathcal{O}((x-1)^2)}{-\sin\frac \pi2(x-1)}\\\\ &=\frac{1+\mathcal{O}((x-1)^2)}{-\frac \pi2(x-1)+\mathcal{O}((x-1)^3)}\\\\ &=-\frac{2}{\pi (x-1)}+\mathcal{O}(x-1). \end{align}$$

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La notación $$\displaystyle f(x)=\mathcal{O}((x-x_0)^n)$$ means that there exists some constant $C$ around $x_0$ such that $$\displaystyle |f(x)|\leq C|x-x_0|^n$$ for all $x$ in a neighbourhood of $x_0$.

Answer 2

Ya lo tienes...casi !

Para $\;x\;$ bastante cerca de a $\;1\;$ desde la derecha,

$$\;\lfloor x\rfloor=1\implies \tan\dfrac{\pi x}2\lfloor x\rfloor=\tan\dfrac{\pi x}2\to-\infty\;$$

y de $\;x\;$ muy cerca de $\;1\;$ desde la izquierda que usted consigue

$$\lfloor x\rfloor=0\;\implies \tan\dfrac{\pi x}2\lfloor x\rfloor=0\to 0$$