Probar que si $n$ es un producto de dos enteros consecutivos, sus unidades de dígitos debe ser $0,2, $o $6$

Question

Probar que si $n$ es un producto de dos enteros consecutivos, sus unidades de dígitos debe ser $0,2,$ o $6$.

Estoy teniendo un momento difícil con la $0,2,6$ y parte, pero aquí es lo que tengo hasta ahora.

Desde $n$ es el producto de dos enteros consecutivos, entonces uno debe ser impar y el otro debe ser par.

Deje $m=2k+1$ representan el entero impar donde $k \in \mathbb{Z}$, y deje $q=2k$ representan el entero par donde $k \in \mathbb{Z}$. Entonces $$n=m \times q=(2k+1)(2k)=(2k)^2+2k$$

Esto me dice que $n$ es incluso. Entonces, ¿cómo puedo demostrar que las unidades de dígitos debe ser $0,2,$ o $6$?

Answer 1

Cuando se multiplican dos números, el de las unidades de lugar de un producto se determina sólo por las unidades de los lugares de los dos números. Por lo que es suficiente para comprobar los casos uno por uno. $$ 0 \1 \text{ da } 0 \\ 1 \times 2 \text{ da } 2\\ 2 \times 3 \text{ da } 6\\ 3 \4 veces \text{ da } 2\\ 4 \5 veces \text{ da } 0\\ 5 \6 veces \text{ da } 0\\ 6 \7 veces \text{ da } 2\\ 7 \8 \text{ da } 6\\ 8 \9 veces \text{ da } 2\\ 9 \times 0 \text{ da } 0\\ $$

Answer 2

También se puede trabajar sobre todos los casos de $k$ modulo $5$.

• Si $k=5t$, luego $$(2(5t))^2+2(5t)=100t^2+10t=10(10t^2+t)$$ así que nuestro número termina con un $0$.

• Si $k=5t+1$, luego $$(2(5t+1))^2+2(5t+1)=100t^2+40t+4+10t+2=10(10t^2+5t)+6$$ así que nuestro número termina con un $6$.

• Si $k=5t+2$, luego $$(2(5t+2))^2+2(5t+2)=100t^2+80t+16+10t+4=10(10t^2+9t+20)$$ así que nuestro número termina con un $0$.

• Si $k=5t+3$, luego $$(2(5t+3))^2+2(5t+3)=100t^2+120t+36+10t+6=10(10t^2+13t+40)+2$$ así que nuestro número termina con un $2$.

• Si $k=5t+4$, luego $$(2(5t+4))^2+2(5t+4)=100t^2+160t+64+10t+8=10(10t^2+17t+70)+2$$ así que nuestro número termina con un $2$.

Answer 3

Como ya se ha señalado, podemos encontrar toda la información que necesitamos mirando a $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$. Una simple comprobación de los rendimientos que $$\overline{0}\cdot\overline{1}=\overline{0}$$ $$\overline{1}\cdot\overline{2}=\overline{2}$$ $$\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{1}$$ $$\overline{3}\cdot\overline{4}=\overline{2}$$ $$\overline{4}\cdot\overline{0}=\overline{0}$$ Ya que el único otro resto en posible para $\overline{2}$ es impar, no haga falta comprobarlo, pero una comprobación rápida de $3\times 2$ rendimientos que en realidad significan $6$. El grupo es cíclico y estamos, por lo tanto,.