Explícito homotopy equivalencia de espacios homogéneos $O(2n)/U(n)$ $GL(2n,\mathbb{R})/GL(n,\mathbb{C})$

Question

Ejercicio 2.25 de topología simpléctica por McDuff y Salamon me pide probar que $O(2n)/U(n)$ es homotopy equivalente a $GL(2n,\mathbb{R})/GL(n,\mathbb{C})$. Ellos sugieren que el uso de la descomposición polar. Supongo que significa algo como esto: si $A=PQ$, $P$ positiva definida, $Q$ ortogonal, entonces $P=\sqrt{AA^T}$, e $Q=(\sqrt{AA^T})^{-1}A$, por lo que esta descomposición es continua en a $A$. Lo que es obvio es intentar, a continuación,

$$\Psi_t(A)=(AA^T)^{-t/2}A$$

Este se retrae $GL(2n,\mathbb{R})$$O(2n)$. Sin embargo, si multiplico $A$ por una matriz de $B$, he

$$ \Psi_t(AB)=(ABB^TA^T)^{t/2}AB $$

Ahora si $B$ $U(n)$ entonces veo que de $\Psi_t(AB)=\Psi_t(A)B$$BB^T=1$, por lo que la pasa a un homotopy equivalencia de los cocientes $O(2n)/U(n)$$GL(2n,\mathbb{R})/U(n)$. Este argumento no funciona para $B\in GL(n,\mathbb{C})$. ¿Qué McDuff y Salamon tienen en mente?

ps: tenga en cuenta que yo no estoy en busca de otra prueba de la declaración (ver también la Inclusión de $O(2n)/U(n)\to GL(2n,\mathbb{R})/GL(n,\mathbb{C}) $). Creo que el siguiente argumento funciona: Tenemos un diagrama de fibrations

$$\begin{array}{ccc} U(n) & \rightarrow & O(2n) &\rightarrow&O(2n)/U(n)\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ GL(n,\mathbb{C}) & \rightarrow & GL(2n,\mathbb{R}) & \rightarrow & GL(2n,\mathbb{R})/GL(n,\mathbb{C}) \end{array}$$

Los dos primeros vertical de mapas homotopy equivalencias. Ahora el largo de la secuencia exacta de homotopy grupos, los cinco lema, y Whitehead va a terminar el trabajo. Pero estoy buscando un explícito homotopy de equivalencia.

Answer 1

Básicamente, el homotopy equivalencia de lo que busca es simplemente la inclusión.

Deje $ O(2n) \to GL_{2n}(\mathbb R)$ ser la inclusión. Si usted lo componen con el canónica surjection, se obtiene una bien definida mapa continuo $O(2n) \to GL_{2n}(\mathbb R)/GL_n(\mathbb C).$ Porque $U(n)$ es un subgrupo de $GL_n(\mathbb C)$, multiplicar un elemento de $O(2n)$ por una matriz en la $U(n)$ no cambia su imagen, para que de esta forma se define un mapa continuo $O(2n)/U(n) \to GL_{2n}(\mathbb R)/GL_n(\mathbb C)$. Es realmente tan explícito como se pone. Como he dicho, realmente se puede pensar de este mapa como el de la inclusión.

Creo que, simplemente, estaban confundidos por McDuff y el Salmón de la pista. Pero eran, probablemente, sólo recuerda de la descomposición polar que es la clave para demostrar que las inclusiones $U(n) \to O(2n)$ $GL_n(\mathbb C) \to GL_{2n}(\mathbb R)$ son homotopy equivalencias: el argumento que usted menciona en su pregunta es realmente lo que este ejercicio es sobre.