Mostrar que la secuencia de $\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}} = \{x: x=$ el n-ésimo dígito decimal de Champernowne constante de$\}$ no es periódica.
Para aquellos que no saben lo que Champernowne es constante, es, es el siguiente número:
$C_{10} = 0.123456789101112131415161718192021...$
Bueno, antes de que alguien dice que $\{a_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ es, sin duda aperiódica porque Champernowne es constante, es irracional(e incluso trascendental), tengo que decir que estoy muy consciente del hecho de que un número es racional si y sólo si la secuencia de sus dígitos es periódica, pero estoy buscando otra prueba de que la secuencia de los dígitos de $C_{10}$ es aperiódica que no uso nada, pero de una manera inteligente, mostrando que la $a_{n+k} = a_n$ no puede sostener por cualquier $k\in \mathbb{N}$.
He observado que mediante la agrupación de los términos de una secuencia de una manera inteligente nos puede mostrar que no hay tal $k$ puede existir para algunas secuencias. Para el ejemplo he creado la siguiente secuencia:
$1,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,\cdots$
La secuencia se crea de esta manera: en Primer lugar, poner un $1$, luego de dos $0$'s, y en el n-ésimo paso de agregar cualquiera de las $1$'s o $0$'s n veces dependiendo de si n es par o impar, respectivamente.
Es fácil demostrar esta secuencia no es periódico, porque no importa cuán grande $k$ es que siempre puedes encontrar a $n$ tal que $a_n = 1$ pero $a_{n+k}=0$ o $a_n=0$ pero $a_{n+k}=1$. Que demuestra que la secuencia no es periódico, y como corolario de lo' demostró que el número real $0.1001110000111110000001111111\cdots$ es irracional.
Después de mostrar que he estado tratando de aplicar esta técnica de agrupación para la secuencia en el problema sin mucho éxito hasta el momento.
Creo que si la periodicidad de una secuencia $\{a_n\}$ se denota por a$\Omega(\{a_n\})$, entonces si definimos una nueva secuencia $\bar{a}_m(n) := \bar{a}_{m,n} = [a_n]_m$$\Omega(\{\bar{a}_{m,n}\}) \mid \Omega({a_n})$. Esto no debería ser muy difícil de probar, creo.
Ahora, para demostrar que
$1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,8,1,9,2,0,2,1,\cdots$
no es periódico, es suficiente para demostrar que la secuencia
$1,0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1,0,1,\cdots$
no es periódica. Pero yo no he progresado mucho desde aquí :/
