Se puede demostrar mediante el análisis complejo que
$$\tag{1}\int^{2\pi}_0e^{\cos \theta}\cos(n\theta -\sin \theta)=\frac{2\pi}{n!}$$
Mi pensamiento inicial es que, usamos la función Gamma para valores no enteros. Pero parece que no podemos ya que
$$\int^{2\pi}_0e^{\cos \theta}\cos\left(\left(\frac{1}{2} +n\right)\theta -\sin \theta \right)=0$$
Mi pregunta: ¿Podemos resolver
$$\int^{2\pi}_0e^{\cos \theta}\cos(a\theta -\sin \theta)\,d \theta $$
para valores específicos de $a$ que no sean de los casos anteriores?
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Tal y como se pedía en los comentarios, aquí hay una prueba de (1) utilizando la integeración del contorno
Considere la siguiente función
$$f(z)=e^{z^{-1}}z^{n-1}$$
Ahora integramos la función a lo largo de un círculo de radio 1
$$\oint_{|z|=1}e^{z^{-1}}z^{n-1} dz=\oint_{|z|=1}\sum_{k\geq 0}\frac{z^{n-k-1}}{\, k!} dz $$
Ahora tenemos que encontrar el residuo que es el coeficiente de $1/z$
$$\text{Assume that } n-k-1=-1 \to n=k$$
Por lo tanto, tenemos
$$\oint_{|z|=1}e^{z^{-1}}z^{n-1} dz= 2\pi i \frac{1}{n!} $$
Utilizando una parametrización del círculo
$$i\int_{0}^{2\pi i}e^{e^{-i\theta }}e^{i n\theta } d\theta = 2\pi i \frac{1}{n!} $$
$$\int_{0}^{2\pi i}e^{e^{-i\theta }}e^{i n\theta } d\theta = 2\pi\frac{1}{n!} $$
Por lo tanto, tenemos
$$\Re\int_{0}^{2\pi i}e^{e^{-i\theta }}e^{i n\theta } d\theta =\int^{2\pi i}_0 e^{\cos \theta} \cos(n\theta-\sin \theta)\, d\theta= \frac{2\pi}{n!} $$
