A menudo se dice que los fractales, como el conjunto de Mandelbrot M, son auto-similares, aunque nunca he oído hablar de ninguna de las funciones de modelado formal de esta perspectiva.
Tengo curiosidad por aprender acerca de las funciones f que mapa M a sí mismo en el trivial maneras. Por "bonito" en el título, me refiero a excluir trivial o muy artificial funciones que no ofrecen información sobre la estructura de M (por lo "bonito" se utiliza de manera informal).
El conjunto de Mandelbrot no es auto-similar en el sentido de que quiere usted decir-que se aplica más a los fractales como el triángulo de Sierpinski, la curva de Koch, y así sucesivamente. Hay varios subconjuntos del conjunto de Mandelbrot que son aproximadamente similares para el conjunto de Mandelbrot, como se muestra en esta secuencia de zoom de la Wikipedia:
El conjunto de Mandelbrot es también infinitamente auto-similares en cualquier punto de Misiurewicz, en el sentido de que el zoom en un punto revela la estructura local que parece repetir cuanto más zoom. (De hecho, la estructura local está convergiendo a la estructura local de la correspondiente Julia.)
Como regla general, no todos los fractales son auto-similares, a pesar de que la auto-similitud es una propiedad común de simples formas fractales. No hay una sola ampliamente aceptadas en la definición de fractal dentro de las matemáticas, a pesar de que se está generalmente de acuerdo en que cualquier forma con los no enteros de dimensión de Hausdorff es un fractal. El conjunto de Mandelbrot ha Hausdorff de la dimensión 2, pero aún es considerado un fractal, debido a su complicada estructura local y aproximada de auto-similitud.
Si usted está buscando una idea de la estructura de $M$, he aquí una buena manera de proceder:
Aprender acerca de los principales cardioide y período de bombillas, y posiblemente de las antenas así. (Este artículo por la Junta de directores Devaney podría ser un buen lugar para empezar.)
Aprender algo acerca de postcritically finito cuadráticas, y su relación con la hiperbólica y componentes de Misiurewicz puntos.
Aprender acerca de los rayos externos y Bötcher coordenadas en el complemento.
Aprender acerca de la optimización y renormalization.
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