Grupos donde todos los elementos son de orden 3

Question

Soy un estudiante tratando de aprender algo de álgebra abstracta de este verano, y me ha demostrado recientemente (como ejercicio) que si $G$ es un grupo donde cada elemento tiene orden 2, entonces el $G$ es abelian. Estaba pensando que podríamos hacer una conclusión similar acerca de los grupos, donde cada elemento tiene orden 3, es decir, yo estoy preguntando si $G$ es un grupo donde todos los elementos de orden 3, $G$ es abelian. Creo que esto no es cierto, pero no puedo pensar de un contraejemplo.

Los únicos grupos que puedo pensar de que tiene todos los elementos de orden 3 son los grupos de $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^n$, pero estos son abelian. Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias!

Answer 1

El ejemplo estándar es el grupo de Heisenberg. Considerar el grupo de todas las matrices de la forma $$\left(\begin{array}{ccc} 1 & x & y\\ 0 & 1 & z\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right),$$ donde $x,y,z\in\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. No es difícil comprobar que este es un grupo, que cada uno de sus 27 elementos de exponente $3$, y que no es abelian. La sustitución de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ por extraño prime $p$ muestra que un resultado similar, no puede mantener para cualquier primer distinta de $p=2$.

Este es un ejemplo de la más pequeña posible orden: un número finito de grupo en la que cada elemento es de exponente $3$ debe tener un orden $3^n$ algunos $n$ (una consecuencia del Teorema de Cauchy), y cada grupo de orden $3^2$ es abelian.

Hay otro nonabelian grupo de orden $27$, pero en ese grupo hay un elemento de orden $9$: $$\langle a,b\mid a^9 = b^3 = 1, ba = a^4b\rangle.$$

Answer 2

No, No es cierto, pero si estás empezando con esto tal vez usted no entiende completamente el ejemplo: el semidirect producto de un no-grupo cíclico de orden $9$ por un grupo de orden $3$ tiene todos sus no-elementos de la unidad de orden 3...

Usted puede leer aquí http://groupprops.subwiki.org/wiki/Prime-cube_order_group:U(3,3) una exposición acerca de esto como un grupo de unitriangular matrices.