Trascendental, un infinitamente cerca racionales?

Question

Disculpas que esta pregunta es muy vaga, pero no sé cómo decirlo más precisamente. Es decir pi, infinitamente "cerrar" para algún número racional? Lo que es más importante, son todos trascendental números infinitamente cerca de algún número racional? De nuevo, pido disculpas por mi vaguedad.

Edit: es la respuesta que el mismo si vamos a reemplazar el trascendental con el irrationals?

Answer 1

Desde $\pi$ es irracional, cada número racional $q \in \mathbb{Q}$ no es igual a $\pi$ (esto es un poco redundante). Por lo tanto, la distancia $|\pi - q|$ es estrictamente mayor que cero, por lo $\pi$ no es "infinitamente cerca" para cualquier número racional.

Por otro lado, el conjunto de $\mathbb{Q}$ de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales, así que para cualquier distancia $\epsilon > 0$ usted puede encontrar un racional $q$ tales que su distancia a $\pi$ es de menos de $\epsilon$. En otras palabras, $|\pi - q| < \epsilon$. Lo que en este sentido, $\pi$ (y cualquier número real, realmente) es "infinitamente cerca" para el conjunto de los números racionales.

Un ejemplo similar: el número de $0$ no es "infinitamente cerca" a cualquier número particular en el intervalo de $(0,1]$, pero es infinitamente cerca del intervalo de sí mismo.

Esperemos que este a aclarar su confusión.

Answer 2

Considerar específicamente la siguiente secuencia de números racionales:

$$3\\3.1\\3.14\\3.141\\3.1415\\ \vdots$$

Estos son todos racionales (por ejemplo, la tercera es $\frac{314}{100}$), y se aproximan $\pi$ tan de cerca como se desee.

Answer 3

Usted no puede encontrar racionales infinitamente cercana a $\pi$, pero usted puede encontrar hyperrationals infinitamente cercana a $\pi$. En otras palabras, una respuesta afirmativa a su pregunta requiere una extensión del sistema de número de las reales a la hyperreals: $\mathbb R\subset\mathbb R^\ast$. A ver que se puede encontrar un hyperrational infinitamente cercana a $\pi$, considerar la prolongada expansión decimal de $\pi\in\mathbb R^\ast$: $$\pi = 3.141\cdots a_{n-1}a_n a_{n+1}\cdots a_{H-1}a_H a_{H+1}\cdots$$ donde $a_n$ es típica de los dígitos en un número finito de rango $n$, mientras que de $a_H$ es un típico dígitos en una infinita (hyperfinite) rango de $H$. A continuación, se truncar la expansión decimal en el rango de $H$ se obtiene un hyperrational $$3.141\cdots{}\cdots a_H 000\cdots$$ infinitamente cercana a $\pi$. La razón de esto es un hyperrational es porque es la relación de dos hypernatural números, es decir,$3141\cdots a_H$$10^H$.

Por supuesto, lo mismo vale para cualquier número irracional. De hecho, este enfoque permite construir el sistema numérico real de partida con hyperrationals; ver

Davis, Martín Aplica no estándar de análisis. Pura y Matemática Aplicada. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], Nueva York-Londres-Sydney, 1977.