Hay infinidad de grupos que no puede ser representada por finito-dimensional de las matrices sobre cualquier anillo conmutativo. Si un grupo puede ser representado por las matrices de tal manera entonces se le llama lineal$^{\ast}$. No todos los grupos son lineales.
Un grupo de $G$ es residual finito si para cada elemento $g\in G$ existe un homomorphism $\phi_g: G\rightarrow F_g$ en un grupo finito $F_g$ tal que $\phi_g(g)$ no es trivial. De manera equivalente, para cada elemento $g\in G$ existe una acción de $G$ sobre un objeto finito tal que la acción de la $g$ no es trivial. Es un lugar famoso resultado de Malc ev que finitely generado lineal grupos residual finito. Esto le permite evocar no-lineal de grupos casi a voluntad!
No Hopfian grupos de Una forma de construir la finitely generado, no residual grupos finitos es construir finitely generado grupos que tienen un surjective endomorfismo $G\rightarrow G$ que no es un isomorfismo. Estos grupos son llamados no-Hopfian, y es un resultado de (otra vez) Malc ev que estos grupos no son residual finito. Ver este Matemática.SE respuesta de mina para la prueba, y este uno de los ejemplos de tales grupos (el principal ejemplo es el grupo de $\langle a, b; b^{-1}a^2b=a^3\rangle$).
Simple grupos de Una segunda forma de construir la finitely generado, no residual grupos finitos es construir finitely generado infinito simple grupos. Ejemplos de estos grupos son de Thompson del grupo $T$ $V$ (estos pueden ser realizadas como de los grupos que actúan en la unidad de intervalo en muy naturales maneras de ver estas notas o esta respuesta de la mina) y Tarski monstruo grupos.
Higman del grupo El grupo $G=\langle a, b, c, d; a^{-1}ba=b^2, b^{-1}cb=c^2, c^{-1}dc=d^2, d^{-1}ad=a^2\rangle$ fue el primer ejemplo de un finitely generado, infinita grupo sin finito de coeficientes. Esto implica claramente que el $G$ no es residual finito. Higman del papel es un placer leer a$^{\dagger}$, y en él señala que $G$ facilmente puede ser utilizada para construir finitely generado, infinito, simple grupos (su papel era pre-Thompson grupos, y pre-Tarski monstruos) - tomar un máximo normal de los subgrupos $N$ de $G$, $G/N$ debe ser simple!
$^{\ast}$Quizás esta definición realmente requiere de campo no conmutativa anillo, pero todo en esta respuesta obras más general conmutativa anillo de definición.
$^{\dagger}$Higman, Graham (1951), Un finitely generado infinita grupo simple, J. Lon. De matemáticas. Soc.
