Tamaños relativos de primer lagunas

Question

No hay números primos entre los dos primos $113$$127$. La brecha que parece bastante grande en comparación con el tamaño de los números en ella. $$ \frac{\text{tamaño de la brecha}}{\text{prime justo debajo de la brecha}} = \frac{14}{113} = 0.12389\ldots $$ Es que es lo más grande que esta estadística en particular nunca llega?

Es que la última vez que esta estadística en particular que alguna vez se de que tamaño?

Answer 1

De hecho, la respuesta es positiva. Tenemos:

$$R_n := \frac{\text{size of gap}}{\text{prime just below the gap}} = \frac {p_{n+1} - p_n} {p_n} = \frac {p_{n+1}} {p_n} - 1$$

El uso de algunas de ellas muy conocidas aproximaciones (Rosser del teorema de) a $p_n$, tenemos

$$p_{n+1} \le (n+1) \log(n+1) + (n+1) \log \log(n+1)$$ $$p_n \ge n \log n + n \log \log n - n$$

Así,

$$R_n + 1 \le \frac {n+1} n \frac {\log (n+1) + \log \log (n+1)} {\log n + \log \log n - 1}$$

RHS es una función decreciente, y por lo tanto tenemos $R_n < 0.12389\ldots$ todos los $n \ge 1296$. El resto de los casos se $31 \le n \le 1295$ puede ser activada manualmente.

Answer 2

Rohrbach y Weis mostrar que (como Martin notas en los comentarios):

$$ g_n < \frac{p_n}{13} \quad \quad n > 118$$

From this we have that your statistic is bounded by: $ \frac{1}{13} \approx 0.0769231 $ for $n > 118$. The 118th prime is $647$, y un rápido análisis numérico verifica esto.

Código de Mathematica para comprobar esto (que debe imprimir nada):

Do[If[Prime[k + 1]/Prime[k] - 1 >= 14/113, Print[k]], {k, 31, 119}]