Integral se convierte en inadecuado después de una sustitución

Question

Estoy sorprendido sobre el siguiente fenómeno que me gustaría discutir con usted. Considere la adecuada integral $$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{1}{\sin(x)}dx.$$

Desde $\sin(x)$ es un diffeomorphism en el intervalo de $(\pi/4,\pi/2)$ podemos hacer la sustitución $\phi(x):=\arcsin(x)$. Desde $d\phi(x)=\frac{dx}{\cos(\arcsin(x))}=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ obtenemos:

$$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{1}{\sin(x)}dx=\int_{1/\sqrt{2}}^{1}\frac{1}{x\cdot \sqrt{1-x^2}}dx.$$

De repente la integral se convierte en inadecuado, que se siente de alguna manera "equivocada" para mí. Pero no creo que hay un error en la argumentación que conduce desde el inicial integral a la mala, por uno nuevo.

¿Conoces otros ejemplos similares a la de arriba? Espero que alguien de ustedes me puede ayudar a eliminar de mi 'incómodo' o 'malo' freeling acerca de esta situación, para -como el cálculo de la muestra -, la situación es bastante natural.

Los mejores deseos

edit: Otro (tal vez más familiar) notación para escribir la sustitución sería:

$z:=\sin(x)\Rightarrow dz=\cos(x)dx=\sqrt{1-z^2}dx\Rightarrow \frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}=dx$. Por lo tanto tenemos la integral

$$\int_{1/\sqrt{2}}^{1}\frac{1}{z\cdot\sqrt{1-z^2}}dz$$

Answer 1

De hecho,$d\phi ={dx\over\sqrt{1-x^2}}$, sin embargo no tienen un $d\phi$ en su integral, ha $dx=\cos\phi\,d\phi$, así que lo que están mirando es

$$\int_{\arcsin(\pi/4)}^{\arcsin(\pi/2)}{\cos x\over \sin(\sin(x))}\,dx$$

lo cual es perfectamente correcto, al menos a simple vista. Pero tenga en cuenta que lo que realmente hizo mal fue usted ($1$) la sustitución mal y ($2$) escogí una mala función: $\arcsin$ sólo está definida en $[-1,1]$ y ha utilizado todo el camino hasta el $\pi/2>1$, por lo que, realmente, no es siquiera una opción válida!

Answer 2

Para responder a la pregunta original, que es psicológica más que matemática, es perfectamente razonable intuir que una adecuada integral debe permanecer adecuada en virtud de la sustitución. Después de todo, el área no cambia.

La fuente de la impropiedad viene de $\sin(x)$ tener cero de la derivada en $x = \frac{\pi}{2}$. Debido a que su valor cambia muy lentamente en las inmediaciones de $\frac{\pi}{2}$, hay un montón de "área" comprimidas en un cambio infinitesimal en $\sin(x)$. Esto no es una preocupación cuando se va a integrar w.r.t. $x$, pero es cuando se está integrando w.r.t. $\sin(x)$. Para compensar, el valor de el integrando debe tender a infinito en este punto, lo que resulta en una inadecuada integral.

O, considere la posibilidad de que $dx = \frac{dx}{dz}dz$. Como $\frac{dz}{dx} \rightarrow 0$, $\frac{dx}{dz} \rightarrow \infty $.

O, considere el caso ligeramente más sencillo de $$\int_0^1 \left(1-x^2\right) dx$$

Haciendo una sustitución similar $ y := x^2 \implies \frac{dy}{2\sqrt y} = dx$, se obtiene otra incorrecto integral:

$$\int_0^1 \frac{1-y}{2\sqrt{y}}dy$$

...y de nuevo es porque $\frac{d}{dx}x^2 = 0$$x = 0$.

También, en "$\phi(x):=\arcsin(x)$", asd obviamente significaba para$\phi$$x$, e $x$ a ser la nueva variable, que es la razón por la que él llamó más tarde se $z$ para mayor claridad. El significado que se pretendía era perfectamente válida la sustitución, como Mathematica confirmado ;)

Answer 3

Tu comentario debajo de Adam Hughes respuesta dice que tiene $$ \int_{\sqrt{2}^{-1}}^1 {\cos\phi\,d\phi \\sin(\sin\phi)}. $$ No hay nada incorrecto acerca de eso.

Answer 4

El cambio de la variable que se eligió induce a la "improperness", como la derivada de la $\sin(x)$ se desvanece en $x=\pi/2$, por lo que el $dz=\cos(x)\,dx$ degenera.

Tienes un fenómeno similar con la sustitución de $x=e^t$ en la integral siguiente:

$$\int_0^1\,dx=\int_{-\infty}^0 e^{t}\,dt=e^t\Big|_{-\infty}^0.$$