Es el fantasma-número de una realidad física/observable?

Question

Una perspectiva, es decir, que se presentó el fantasma de los campos en el Lagrangiano para ser capaz de escribir el medidor de transformación determinante como un camino integral. Por lo tanto, tuve la tentación de pensar en ellos como sólo algunas variables auxiliares introducido en la teoría para hacer las cosas manejables.

Pero, a continuación, se observa que tras la introducción de ellos ahora hay un extra global $U(1)$ simetría - el "fantasma"número de

• Por lo tanto no uno ahora, básicamente, ha añadido un nuevo factor de $U(1)$ para el grupo de simetría de la teoría? ¿Cómo puede la simetría de la teoría dependen de la introducción de algunos auxiliares campos?

• Ahora, si uno se toma el punto de vista de que el mundial de simetría se ha mejorado, a continuación, las partículas deben también estar en la irreductible de las representaciones de este nuevo factor. Por lo tanto espíritu número debe ser como un nuevo número cuántico de las partículas y que ha de ser conservado!

• Pero se ve que el espíritu campo de las excitaciones son BRST exacta y, por tanto, no físico, ya que se $0$ en el BRST cohomology.

Soy incapaz conceptualmente conciliar las tres ideas - las dos primeras parece que me dicen que el fantasma es un número muy cosa física, pero la última parece que me diga que es no físico.

• A riesgo de sonar más ingenuo - si las partículas son ahora acusados bajo el número fantasma de simetría, entonces ¿no deberíamos ser capaces de medir que en el laboratorio?

• Por último, este número fantasma, la simetría es un mundial/rígido $U(1)$ simetría - no puede no ser un caso donde es local y necesita ser calibrada?

Answer 1

Este es un temperamental diferencia más que físico, pero siento que esta pregunta merece una respuesta con mucho menos formalismo de lo Urs está utilizando. El punto físico que usted nunca debe perder de vista es que el medidor de simetrías no son simetrías: no asignar un estado a otro, pero en lugar de identificar a priori los diferentes estados sólo como un estado físico. Efectivamente, usted ha tomado un mayor espacio de estado y, a continuación, modded por el calibre de las transformaciones; después de esto, no remanente de la original del grupo gauge es realmente físico. Así que ya cuando se escribe un Lagrangiano en términos de grados de libertad como $A_\mu$, está muy overcounting el número de grados de libertad. Esto se hace porque se hace de la teoría manifiestamente local. Pero usted debe recordar siempre que la física real de los observables son sólo el gauge invariantes de los objetos, y se puede identificar estos objetos sin la fijación de un medidor o el uso de la BRST formalismo. Al introducir los fantasmas, básicamente, sólo la fijación de un medidor en un lugar complicado. Ni el fantasma de los campos, ni el $A_\mu$ campos son de tipo físico, y si bien podría ser conveniente herramientas de cálculo, usted nunca debe tomar demasiado en serio, o el riesgo de perder de vista de la física en el cambio de arbitraria de las opciones que usted ha hecho.

Answer 2

El misterio aquí debe desaparecer una vez que uno se da cuenta de que el BRST complejo - de ser un dg-álgebra -- es la formal dual de un espacio , es decir, a la "homotopically reducido" el espacio de fase.

Para el común de álgebras de este es más familiar: el álgebra de funciones $\mathcal{O}(X)$ espacio $X$ es la "formal doble" a $X$, en que los mapas de $f : X \to Y$ corresponden a morfismos de álgebras de la otra manera alrededor de $f^* : \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$.

Ahora, si $X$ es algo de espacio de fase, luego de un observable es simplemente un mapa de $A : X \to \mathbb{A}$. Doblemente esta es una de morfismos de álgebras de $A^* : \mathcal{O}(\mathbb{A}) \to \mathcal{O}(X)$. Desde $\mathcal{O}(\mathbb{A})$ es el álgebra libre en un generador, se encuentra de nuevo que un observable es sólo un elemento de $\mathcal{O}(X)$.

(Todo esto es cierto en geometría sin problemas con los símbolos interpretados adecuadamente.)

La única diferencia es que en la actualidad BRST complejo no es sólo un álgebra, pero un dg-álgebra. Es por lo tanto la formal dual de un espacio en el "más alto de la geometría" (en concreto: en la dirección general de la geometría). Concretamente, el BRST complejo es el álgebra de funciones en la Mentira algebroid que es el infinitesimal aproximación a la Mentira groupoid cuyos objetos son configuraciones del campo, y cuyos morfismos son de calibre transformaciones. Esta Mentira groupoid es un "débil" cociente de campos por simetrías, por lo tanto es el modelo de la reducción del espacio de fase.

Así que esto significa que un observable en el espacio formalmente dual a un BRST compleja $V^\bullet$ es un dg-álgebra homomorphism $A^* : \mathcal{O}(\mathbb{A}) \to V^\bullet$. Aquí, a la izquierda tenemos ahora la dg-álgebra que como un álgebra es libre en un único generador, que es una) en el grado 0 y b) cuyo diferencial es de 0. Por lo tanto, la dg-morfismos $A^*$ precisamente escoger un elemento de la BRST complejo, que es una) en el grado 0 y b) que es BRST cerrado.

De esta manera se recupera la definición de las características observables como BRST-cerrado elementos en el grado 0. En otras palabras, los elementos de mayor espíritu de grado no son observables.