Demostrar que $\lim_{x\to a}\sin x=\sin a$ donde $a$ es cualquier número real.
Solución 13 aquí:
https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/preclimsoldirectory/PrecLimSol.html#SOLUTION13
pretende demostrar que el $\sin(x)$ es continua, en otras palabras: por cada real $a$, $\lim_{x\to a}\sin(x)=\sin(a)$. La solución utiliza el Valor medio Teorema, que sólo funciona si la función es derivable en un intervalo; en particular, la función debe ser continua en un intervalo. Así que la solución es suponiendo que $\sin(x)$ es continua en el fin de demostrar que es continua.
Es esta solución falsa o me estoy perdiendo algo?
Nota: no estoy pidiendo a usted para proporcionar una correcta prueba. Ya sé de una correcta prueba (que no utiliza MVT).
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Las respuestas que tengo son excesivamente literal. Ellos son, en el mejor técnicamente correcto en sus propios términos, y va a reunir a algunos de los votos, ya que es divertido para validar la inteligente observación de errores en el material de clase. Pero es engañoso para describir la solución de la circular.
Por "demostrar" que el autor de la página web significa "encontrar una función explícita $D(x)$, de modo que la configuración de $\delta = D(\epsilon)$ satisface la epsilon basado en la definición de la continuidad o el límite". Es por eso que la página web se titula SOLUCIONES A LOS LÍMITES DE LAS FUNCIONES MEDIANTE LA DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE. El propósito de la página es para ilustrar la técnica de la utilización de la media-teorema del valor para obtener epsilon-delta estimaciones. No es circular, en la aplicación de esa técnica, para asumir una función es continua y diferenciable, con el fin de demostrar estimaciones concretas que demuestran la continuidad en algún momento dado.
Por supuesto, usted puede obtener una broma prueba recitando el epsilon-delta definición de continuidad y diciendo: "lo $\delta$ hace que la continuidad de la suposición de verdad!". Pero eso no es una estimación que puede ser calculado sin la continuidad de las suposiciones. Si te preguntas por tales la computabilidad como parte de lo que es ser demostrado, entonces no hay circularidad.
Muy específicamente la respuesta de la crítica,
Así que la solución es suponiendo que $\sin (x)$ es continua en el fin de demostrar que es continua.
No. La solución es, asumiendo que $f(x)=\sin x$ es continua, diferenciable, y con una conocida fórmula para su derivado; con el fin de demostrar que el $|f'(x)|$ es limitada (que es la clave para conseguir un computable obligado en $\delta$ como una función de la $\epsilon$, que es lo que la pagina se entiende por "uso de la definición precisa de límite"). Hay ejemplos de funciones diferenciables con unbounded derivados en un determinado intervalo cerrado. La existencia de los ejemplos que significa que, suponiendo continua etc no es suficiente para conseguir la intención de conclusión.
En la mayoría hay una crítica que "el uso de la definición precisa de límite" se define sólo desde el contexto de una clase, un libro o una página web. Pero siempre implica la computabilidad (como en la teoría de la computabilidad) y que puede ser tomado como una muy amplia y suficiente definición para los debates como este que analizar las cosas a muy finos detalles.
