Encontrar esta $a,b,c$ tal que $\sqrt{9-8\sin 50^{\circ}}=a+b\sin c^{\circ}$

Question

Se sabe que$$\sqrt{9-8\sin 50^{\circ}}=a+b\sin c^{\circ}$$ para exactamente un conjunto de enteros positivos $(a,b,c)$ donde $0<c<90$

encontrar el valor $$\dfrac{b+c}{a}$$

mi idea,$ \sin 50^\circ >\sin 45^\circ >\frac{_5}{^8} $

por lo$\sqrt{9-8\sin 50^{\circ}}<2$, $a=1$

a continuación, $$\dfrac{b^2}{16}(1-\cos{(2c)})+\dfrac{b}{4}\sin{c}=1-\sin{50^{0}}$$

por lo $b=4$

luego tenemos a $\sin{c}-\cos{(2c)}=-\sin{50^{0}}$

entonces mi pregunta: ¿Cómo se puede demostrar esto $c$ debe igualdad 10?

Gracias a todos: ayer,cuando me voy a la cama, tengo que considerar lo siguiente:vamos a $f(c)=\sin{c}-\cos{(2c)}$.luego tenemos a $f(10)=\sin{10}-\cos{20}=\cos{80}-\cos{20}=2\sin{\dfrac{80-20}{2}}\sin{\dfrac{80+20}{2}}=\sin{50}$, por otro lado, tenemos a $f'(c)=\cos{c}+2\sin{2c}>0,0<c<\dfrac{\pi}{2}$,por lo que si le $f(c)=f(10)$,debemos $c=10$

Answer 1

Tenemos los siguientes (trabajo en grados):

$$\cos 20 - \cos 80 = \cos(50-30) - \cos(50+30) = 2 \sin 50 \sin 30 = \sin 50$$

Así tenemos que

$$1 - 2\sin^2 10 - \sin 10 = \sin 50$$

(el uso de $\cos 20 = 1 - 2 \sin^2 10$$\cos 80 = \sin (90 - 80) = \sin 10$)

Y así

$$9 - 8 \sin 50 = 9 - 8(1 - 2\sin^2 10 - \sin 10) = 1 + 8\sin 10 + 16\sin^2 10 = (1 + 4 \sin 10)^2$$

Por lo tanto $a=1, b=4, c=10$.

Answer 2

$$sinc-cos(2c)$$ $$=>cos(90-c)-cos(2c)$$ $$=>-2.sin\Bigg(\dfrac{(90+c)}2\Bigg).sin\Bigg(\dfrac{(90-3c)}2\Bigg)=-sin(50)$$ $$2sin\theta sin\phi=sin50$$

Así, uno de la solución llega cuando uno de $sin\theta^0$ o $sin\phi$ es igual a 1/2 y otras es $sin50$

Por eso, $$1)\dfrac{(90+c)}2=50;sin\Bigg(\dfrac{(90-3c)}2\Bigg)=1/2$$

O $$2)\dfrac{(90-3c)}2=50 ; sin\Bigg(\dfrac{(90+c)}2\Bigg)=1/2$$

Caso 2 no se sostiene , Así, del 1 ° de casos $c=10^0$

Y como la solución es única, es la que necesitamos.

Answer 3

Más adelante creo que es con el hecho de que $cos(2c)=1-2sin^2(c)$. Esto te da la ecuación como:

$2X^2+X-(1+sin(50°))=0$ donde $X=sin(c)$

Una vez que usted ha $sin(c)$ usted puede conseguir $c$ bastante facilidad dada su condición por $c$.