Deje $R$ ser un número finito de anillo conmutativo. Mostrar que un ideal es maximal si y sólo si es primo.
Mi intento: Vamos a $I$ a ser un ideal de a $R$. Luego tenemos a $I$ es máxima $\Leftrightarrow$ $R/I$ es un campo finito $\Leftrightarrow$ $R/I$ es un finito integral de dominio $\Leftrightarrow$ $I$ es un alojamiento ideal.
Es mi prueba válida ?
Sí, la prueba es válida, pero tenga en cuenta que la segunda implicación se basa en la $R$ ser finito. Sería más claro si se escribe como
$R/I$ es un campo finito $\Leftrightarrow$ $R/I$ es un finito integral de dominio
Todo esto sería aún más si se escribe como
Desde $R$ es finito, tenemos las siguientes equivalencias:
$I$ es máxima $\Leftrightarrow$ $R/I$ es un campo de $\Leftrightarrow$ $R/I$ es una parte integral de dominio $\Leftrightarrow$ $I$ es un alojamiento ideal
aunque sólo el segundo se basa en la $R$ ser finito.
El corazón de la prueba es buena, y quería comentar que usted puede probar fácilmente que un "primo" de que el teorema de no conmutativa Artinian anillos!
Estoy, por supuesto, el uso de la no conmutativa definición de primer ideales que generaliza la propiedad conmutativa.
La proposición: Un alojamiento ideal en un derecho Artinian anillo de $R$ es máxima iff es el primer.
La prueba de ($\Rightarrow$) Si $M$ es un ideal maximal, $R/M$ es un simple anillo, que es sin duda un primer anillo. De ello se desprende que $M$ es un alojamiento ideal.
La prueba de ($\Leftarrow$) (aquí es donde el tema de la prueba puede ser aplicada de nuevo!) Supongamos $P$ es un alojamiento ideal. A continuación, $R/P$ es un primer anillo. Desde $R$ es derecho Artinian, por lo que es $R/P$. Pero el Artin-teorema de Wedderburn dice que un anillo es simple, por lo tanto $P$ es máxima. $\Box$
La conexión es que Wedderburn poco teorema es como el Artin-teorema de Wedderburn: se dice que un dominio finito es un campo, se dice que un derecho Artinian primer anillo es un simple anillo. ("El derecho Artinian" es una forma más débil de "finito" y "prime" es una forma más débil de "dominio".)
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