Propiedades topológicas conservado por el continuo mapas

Question

Una función continua no siempre mapa abierto a los conjuntos de bloques abiertos, pero la constante de la función de mapa compacto de conjuntos de conjuntos compactos. Uno podría hacer una lista de esas preservaciones de topológico las propiedades de una función continua $f$: $$f( \mathrm{open} ) \neq \mathrm{open} \;,$$ $$f( \mathrm{closed} ) \neq \mathrm{closed} \;,$$ $$f( \mathrm{compact} ) = \mathrm{compact} \;,$$ $$f( \mathrm{convergent \; sequence} ) = \mathrm{convergent \; sequence} \;.$$ Podría usted por favor, ayudar en la ampliación de esta lista? (Y corregir la anterior si me he equivocado!)

Edit. Gracias por los varios comentarios y respuestas ampliar mi lista. Tenía la esperanza de que podría ver a algún tema común entre las propiedades que se conservan por un continuo la cartografía, la separación de las que no se conservan. Pero no veo un patrón. Si alguien la tiene, te agradecería un comentario. Gracias!

Answer 1

1. La conectividad y la ruta de acceso de la conexión
2. Si $f$ es un local homeomorphism, a continuación, $f$ es abierto y cerrado mapa.
3. Si $f$ a y el dominio es normal (se puede separar conjuntos cerrados) o el mapa tiene compacto de fibras, a continuación, la imagen será Hausdorff si el dominio es.
4. Segundo countability se conserva bajo mapas abiertos.
5. La imagen de un simplemente se conecta el espacio no necesita ser simplemente conectado.

Esa es la parte superior de mi cabeza.. hay muchos más. También, probablemente debería ser wiki de la comunidad.

Answer 2

Estos ejemplos pueden ser tonto, pero sólo para agregar a su lista:

1) la compacidad Secuencial (es decir, cada secuencia tiene una convergente larga)

2) Contables de compacidad (es decir, cada contables de apertura de la tapa tiene un número finito de subcover)

3) $\sigma$-compacidad (es decir, el espacio es una contables de la unión de conjuntos compactos)

Menos trivial, como se menciona en el artículo de la Wikipedia, la Lindelof propiedad y divisibilidad son preservados.

Answer 3

Sigue la imagen de un conjunto conectado está conectado. Sigue la imagen de un conjunto completo no es completa. La continuidad no conserva secuencias de Cauchy, a menos que sea un uniforme de continuidad.

Answer 4

Siguiente de muad comentario de uno podría decir que

1) $A \subseteq X_2$ está abierta, $f^{-1}(A) \subseteq X_1$ está abierto
2) lo mismo para los conjuntos cerrados

que creo que son más simples condiciones para la caracterización de una función continua en contraposición a aquellos en su lista, ya que el concepto de abiertos y conjuntos cerrados son "más sencillo" pacto de conjuntos conectados.