Creo que esto puede ser muy bien comprendido por el pensamiento de $\mathbb{Z} \oplus (\mathbb{Z}/3)$ $\mathbb{Z}$- módulo y, a continuación, en representación del grupo de homomorphisms, es decir, $\mathbb{Z}$- módulo homomorphisms, como matrices:
Podemos escribir cada homomorphism $f \colon \mathbb{Z} \oplus (\mathbb{Z}/3) \to \mathbb{Z} \oplus (\mathbb{Z}/3)$ matriz
$$
f =
\begin{pmatrix}
f_{11} & f_{12} \\
f_{21} & f_{22}
\end{pmatrix}
$$
para la única homomorphinms $f_{11} \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, $f_{12} \colon \mathbb{Z}/3 \to \mathbb{Z}$, $f_{21} \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3$ y $f_{22} \colon \mathbb{Z}/3 \to \mathbb{Z}/3$, de tal manera que
$$
f((x,y))
=
\begin{pmatrix}
f_{11} & f_{12} \\
f_{21} & f_{22}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
f_{11}(x) & f_{12}(y) \\
f_{21}(x) & f_{22}(y)
\end{pmatrix}.
$$
Observe que $f_{12} = 0$ debido a que este es el único homomorphism $\mathbb{Z}/3 \to \mathbb{Z}$. Por lo tanto $f$ es de la forma
$$
f =
\begin{pmatrix}
f_{11} & 0 \\
f_{21} & f_{22}
\end{pmatrix}.
$$
Si $f,g \colon \mathbb{Z} \oplus (\mathbb{Z}/3) \to \mathbb{Z} \oplus (\mathbb{Z}/3)$ son dos homomorphisms entonces podemos usar el usual de la multiplicación de la matriz
$$
fg
=
\begin{pmatrix}
f_{11} & 0 \\
f_{21} & f_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
g_{11} & 0 \\
g_{21} & g_{22}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
f_{11} g_{11} & 0 \\
f_{21} g_{11} + f_{22} g_{21} & f_{22} g_{22}.
\end{pmatrix}
$$
Porque tenemos
$$
\mathrm{id}_{\mathbb{Z} \oplus (\mathbb{Z}/3)} =
\begin{pmatrix}
\mathrm{id}_{\mathbb{Z}} & 0 \\
0 & \mathrm{id}_{\mathbb{Z}/3}
\end{pmatrix}
$$
de ello se sigue que si $f$ es un isomorfismo con $g = f^{-1}$
$$
f_{11} g_{11} = g_{11} f_{11} = \mathrm{id}_{\mathbb{Z}}, \\
f_{22} g_{22} = g_{22} f_{22} = \mathrm{id}_{\mathbb{Z}/3},
$$
por lo tanto $f_{11}$ $f_{22}$ debe ser isomorphisms con $f_{11}^{-1} = g_{11}$$f_{22}^{-1} = g_{22}$.
Por otro lado, si $f_{11}$ $f_{22}$ son isomorphisms, a continuación,
$$
\begin{pmatrix}
f_{11} & 0 \\
f_{21} & f_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f_{11}^{-1} & 0 \\
-f_{22}^{-1} f_{21} f_{11}^{-1} & f_{22}^{-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\mathrm{id}_{\mathbb{Z}} & 0 \\
0 & \mathrm{id}_{\mathbb{Z}/3}
\end{pmatrix}
$$
así como
$$
\begin{pmatrix}
f_{11}^{-1} & 0 \\
-f_{22}^{-1} f_{21} f_{11}^{-1} & f_{22}^{-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f_{11} & 0 \\
f_{21} & f_{22}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\mathrm{id}_{\mathbb{Z}} & 0 \\
0 & \mathrm{id}_{\mathbb{Z}/3}
\end{pmatrix}.
$$
Por lo $f$ es ya un isomorfismo.
Ahora sabemos que $f$ es un isomorfismo si y sólo si ambas $f_{11}$ $f_{22}$ son isomorphisms (es decir, como una triangular inferior de la matriz $f$ es invertible si y sólo si todas las entradas de la diagonal son invertible). Ahora podemos contar el número de tales matrices: Los dos posibles valores de $f_{11}$, son los dos automorfismos de a $\mathbb{Z}$. Los dos posibles valores de $f_{22}$, son los dos automorphims de $\mathbb{Z}/3$. Para la entrada de $f_{12}$, se puede elegir cualquiera de los tres homomorphims $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3$. Así tenemos a $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ opciones posibles.
