¿La serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left ( 1-\frac{\ln(n)}{n} \right )^{2n}$ divergen?

Question

podría alguien ayudarme a averiguar si esta serie infinita $$\sum_{n=1}^{\infty }\left ( 1-\frac{\ln(n)}{n} \right )^{2n}$$ diverge?

He intentado usar Cauchy y d'Alembert límite de pruebas, pero ambos dieron el resultado 1. También he probado la condición necesaria para la convergencia, pero $$\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{\ln(n)}{n} \right )^{2n}=0$$

Answer 1

Uso

$$\sum_{n=1}^\infty \Bigl( 1 - \frac{\log n}{n} \Bigr)^{2n} \leq \sum_{n=1}^\infty \biggl(\exp\Bigl( -\frac{\log n}{n} \Bigr)\biggr)^{2n} =\sum_{n=1}^\infty \exp( - 2\log n ) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} < \infty.$$

Answer 2

El uso de Condensación de Cauchy, obtenemos la serie. $$\sum_{n=1}^\infty 2^nf(2^n) = \sum_{n=1}^{\infty}\left( 1 - \frac{n \log 2}{2^n}\right)^{2^{n+1}} 2^n \tag{1}$$ Aquí, se puede utilizar la raíz de la prueba, $$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left( 1 - \frac{n \log 2}{2^n}\right)^{2^{n+1}} 2^n} = \frac 1 2 \tag{2}$$ para argumentar que $(1)$ converge lo que implica la convergencia de series originales. Para evaluar el límite de $(2)$, $$2 \lim_{n\to\infty} \left( 1 - \frac{n \log 2}{2^n}\right)^{\frac{2^n}{n \log 2}2 \log 2} = 2 e^{- 2\log 2} = \frac 1 2$$

Answer 3

Este es convergente.

Sugerencia (no una prueba concreta): $$ (1-\frac{\ln n}{n})^{\frac{n}{\ln n} 2\ln n}\sim e^{-2\ln n}=\frac{1}{n^2}. $$