Rangos y el Teorema Fundamental del Cálculo 1

Question

Estoy repasando capítulo por capítulo para mi final de cálculo y he descubierto este problema:

$$y=\int_{\sqrt{x}}^{x^3}\sqrt{t}\sin{t}\;\mathrm dt$$

Lo dividieron para que se convirtiera en:

$$-\int_1^{\sqrt{x}}\sqrt{t}\sin{t}\;\mathrm dt + \int_1^{x^3}\sqrt{t}\sin{t}\;\mathrm dt $$

¿Por qué 1? ¿Cómo se determinó?

Answer 1

Puedes tomar cualquier límite inferior, no es necesario que sea 1.

$\int_b^c f(x) dx = \int_a^c f(x) dx - \int_a^b f(x) dx$

Piensa en ello como el área bajo la curva.

Answer 2

No tiene que ser $1$ ; todo lo que necesita es estar en el dominio de la función.

Lo que ocurre es que tienes el Teorema Fundamental del Cálculo, que te dice que si $f(x)$ es continua en un intervalo que contiene $a$ entonces la función $F(x)$ definido en ese intervalo por: $$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$$ es diferenciable, y de hecho $F'(x) = f(x)$ para todos $x$ en el intervalo. Pero esto requiere (i) que el límite inferior sea constante; y (ii) que el límite superior sea la variable con respecto a la cual se está tomando la derivada.

Así que la primera pregunta es: ¿qué se hace si se tiene la variable en el baja ¿en lugar del límite superior? Bueno, eso sólo requiere que uses la propiedad de la integral que dice $$\int_a^b f(t)\,dt = -\int_b^a f(t)\,dt,$$ y el hecho de que $(-G(x))' = -G'(x)$ para cualquier $G$ . Así que si $$F_2(x) = \int_x^a f(t)\,dt$$ entonces $$F_2'(x) = \frac{d}{dx}\int_x^a f(t)\,dt = \frac{d}{dx}\left(-\int_a^x f(t)\,dt\right) = -\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = -f(x),$$ con la última igualdad sostenida por la FTC.

A continuación, ¿qué pasa si el límite superior no es $x$ sino una función de $x$ , digamos que $$F_3(x) = \int_a^{g(x)} f(t)\,dt\ ?$$ Entonces utilizamos la regla de la cadena: $$\frac{dF_3}{dx} = \frac{dF_3}{dg}\frac{dg}{dx} = \left(\frac{d}{dg}\int_a^{g(x)}f(t)\,dt\right)\frac{dg}{dx} = f(g(x))g'(x),$$ con la última igualdad de nuevo por la FTC.

¿Y si el límite inferior es la función y el superior la constante? Combinamos los dos "trucos" anteriores para obtener la derivada.

Y por último, ¿qué pasa si tanto el límite superior como el inferior son funciones? Entonces utilizamos la propiedad de las integrales mencionada por Huy: $$\int_a^b f(t)\,dt = \int_a^cf(t)\,dt + \int_c^b f(t)\,dt$$ para cualquier $c$ tal que $f(x)$ está definida y es continua en un intervalo que contiene $a$ , $c$ y $b$ . En el caso que nos ocupa, eligen $1$ simplemente porque es un punto fácil; se puede utilizar cualquier punto de $[0,\infty)$ (no puede ser un punto negativo porque tiene $\sqrt{t}$ en el integrando). Elija su favorito $a$ en $[0,\infty)$ y tienes $$F(X) = \int_{\sqrt{x}}^{x^2}f(t)\,dt = \int_{\sqrt{x}}^a f(t)\,dt + \int_a^{x^2}f(t)\,dt = -\int_a^{\sqrt{x}}f(t)\,dt + \int_a^{x^2}f(t)\,dt$$ y cada una de las integrales de la derecha es una integral que sabemos hacer con el FTC. Así que si dejamos que la primera integral sea alguna $G(X)$ y el segundo sea $H(X)$ entonces $F(X)=G(X)+H(X)$ Así que $F'(X) = G'(X)+H'(X)$ y podemos encontrar $G'(X)$ y $H'(X)$ utilizando los métodos descritos anteriormente.

Lo hicieron con $a=1$ pero puedes hacerlo con $a=\pi$ o $a=4$ o cualquier otro no negativo $a$ .